Enunciado

14. Considere o problema de valor inicial

y ' = 3 t 2 3 y 2 - 4 ,     y 0 = 0

(a) Desenhe um campo de direções para essa equação.

(b) Estime até onde a solução pode ser estendida para a direita. Seja t M a extremidadedireita do intervalo de existência dessa solução. O queacontece em t M que impede a solução de continuar?

(c) Use o método de Runge-Kutta com diversostamanhos de passos para encontrar um valor aproximado de t M .

(d) Se você continuar os cálculos além de t M , você pode continuar a gerar valores de y . Qual o significado (se algum) desses valores?

(e) Suponha que a condição inicial é modificada para y ( 0 )   =   1 . Repita os itens (b) e (c) para esse problema.

Passo 1

a) Olha só! De antemão, como a criança aqui não é muito bom com desenhos, é importante ir direto ao ponto!

Aqui está nosso campo de direções...

É importante só tomar cuidado com as direções de cada vetor do campo. No nosso caso, eles se reagrupam de forma que olhando direito, parece uma onda de vetores. E cada vetor segue o mesmo padrão, tanto na região - 1 < y < 1 quanto na região - 1 < y < - 2 e 1 < y < 2 .

Passo 2

b) Para resolver esse item, o que temos de fazer é integrar o numerador e denominador e depois simplesmente igualá-los. Afinal, o que essa letra pede é até onde a solução pode ser estendida para a direita.

Vamos começar chamando o numerador de h ' 1 ...

h ' 1 = 3 t 2

Integrando h ' 1 :

h 1 = ∫ 3 t 2 d t = t 3

Depois, chamemos o denominador de h ' 2 ...

h ' 2 = 3 y 2 - 4

Integrando h ' 2 :

h 2 = ∫ ( 3 y 2 - 4 ) d y = y 3 - 4 y = y 3 - 4 y

Obtemos então, a seguinte função...

h 1 = h 2

t 3 = y 3 - 4 y

Que plotada em um software, nos mostra o seguinte gráfico:

Passo 3

c) Bora lá agora usar o método de R u n g e - K u t t a .

Olha só! A nossa f ( t , y ) já sabemos que é dada por...

f t , y = 3 t 2 3 y 2 - 4

E sabemos também das seguintes condições:

t n = t 0 + n h

y 0 = 0

Sabendo disso, é uma boa utilizarmos o método de 4 ª ordem pra resolver esse nosso problema. Assim, iremos obter valores mais aproximados em cada ponto pedido.

A nossa iteração no método de R u n g e - K u t t a de 2 ª   ordem é dada por...

y n + 1 = y n + 1 6 k 1 + 2 k 2 + 2 k 3 + k 4

Agora presta atenção! Como o objetivo é resolver esse problema computacionalmente, o que estamos procurando aqui é fórmulas pra colocarmos em nosso código. De preferência, que estejam em função de h e das condições fornecidas pelo enunciado.

Disso isso! Bora pro que interessa! Vamos obter k 1 ...

k 1 = h f ( t n , y n )

k 1 = h 3 t n 2 3 y n 2 - 4

k 1 = h 3 n 2 h ² 3 y n 2 - 4

Depois, bora descobrir k 2 , que é dado por...

k 2 = h f t n + 1 2 h , y n + k 1 2

k 2 = h 3 t n + 1 2 h 2 3 y n + k 1 2 2 - 4

k 2 = h 3 n h + 1 2 h 2 3 y n + k 1 2 2 - 4

Em seguida, bora partir pra obtenção de k 3   , que é igual à...

k 3 = h f t n + 1 2 h , y n + k 2 2

k 3 = h 3 t n + 1 2 h 2 3 y n + k 2 2 2 - 4

k 3 = h 3 n h + 1 2 h 2 3 y n + k 2 2 2 - 4

E finalmente, vamos obter k 4 ...

k 4 = h f t n + h , y n + k 3

k 4 = h 3 t n + h 2 3 y n + k 3 2 - 4

k 4 = h 3 n h + h 2 3 y n + k 3 2 - 4

Pronto! Agora vamos pegar esses dados pra usar em nossa resolução computacional.

Passo 4

Para isso, vamos usar a seguinte estrutura abaixo em forma de algoritmo...

P a s s o   1 : D e f i n i r   c a d a   f u n ç ã o   d e   i t e r a ç ã o   k n

P a s s o   2 : D e f i n i r   o   t a m a n h o   d o   p a s s o   e   d o   v a l o r   i n i c i a l   y ( 0 )

P a s s o   3 : F a z e r   n   r e c e b e r   0 ,   p a r a   q u e   e l e   v e n h a   a   s e r   i n c r e m e n t a d o   e m   n o s s o s   c ó d i g o

P a s s o   4 : P a r a   i   d e   1   a t é   u m   t a m a n h o   T A M   d e   v a l o r   q u e   v o c ê   q u e r h   f a ç a  

P a s s o   5 :  

k 1 = h 3 n 2 h ² 3 y n 2 - 4

k 2 = h 3 n h + 1 2 h 2 3 y n + k 1 2 2 - 4

k 3 = h 3 n h + 1 2 h 2 3 y n + k 2 2 2 - 4

k 4 = h 3 n h + h 2 3 y n + k 3 2 - 4

y n + 1 = y n + 1 6 k 1 + 2 k 2 + 2 k 3 + k 4

i = i + 1  

n = n + 1  

P a s s o   6 : E s c r e v a   ( y n + 1 )

P a s s o   7 : F i m

Captou a mensagem!?

Sendo assim, usando o código já bastante requisitados nas questões anteriores, obtemos os seguintes valores para diferentes tamanhos de passo.

Com base no campo de direção, a solução deve diminuir monotonicamente para o valor limite y   =   - 2 / 3   . Na tabela a seguir, o valor de t M corresponde ao tempo aproximado no processo de iteração em que os valores calculados começam a aumentar.

Passo 5

d) Bom! Caso continuemos os cálculos além de t M , os valores numéricos continuam sendo gerados, embora não sejam associados à curva integral iniciada em ( 0,0 ) . Esses valores são aproximados às curvas integrais próximas.

Passo 6

e) Pra finalizar, caso a condição inicial fosse y 0 = 1 , teríamos que para h ' 1 ...

h ' 1 = 3 t 2 = 3 ⋅ 1 = 3

No caso, a nossa integral ficaria assim...

h 1 = ∫ 3 t 2 = t 3

E não esquecendo da condição inicial...

h 1 = t 3 - 3

Obtemos desse modo, a seguinte nova função...

t 3 - 3 = y 3 - 4 y

Que ao ser plotado em um software, nos fornece o seguinte gráfico...

Para a curva integral iniciada em ( 0,1 ) , a inclinação fica infinita perto de t M ≈   2,0 . Na tabela a seguir, os valores de t M correspondem ao tempo aproximado no processo de iteração em que os valores calculados começam a aumentar.

Resposta

a)

b)

c)

d) Os valores numéricos continuam sendo gerados, embora não sejam associados à curva integral iniciada em ( 0,0 ) . Esses valores são aproximados às curvas integrais próximas.

e)

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