Enunciado

9 - Considere o problema de valor inicial x ' = f ( t ,   x ,   y )   e y ' = g ( t ,   x ,   y ) , com x t 0 = x 0 e y ( t 0 ) = y 0 .

A generalização do método de previsão e correção de Adam-Moulton da Seção 8.4 é

x n + 1 = x n + 1 24 h 55 f n - 59 f n - 1 + 37 f n - 2 - 9 f n - 3

y n + 1 = y n + 1 24 h 55 g n - 59 g n - 1 + 37 g n - 2 - 9 g n - 3

e

x n + 1 = x n + 1 24 h 9 f n + 1 + 19 f n - 5 f n - 1 + f n - 2

y n + 1 = y n + 1 24 h 9 g n + 1 + 19 g n - 5 g n - 1 + g n - 2

Determine um valor aproximado da solução em t = 0,4   para o problema de valor inicial do exemplo,   x ’ = x – 4 y , y ’ = - x + y

Com x 0 = 1 ,   y 0 = 0 . Use   h = 0,1 . Corrija o valor previsto uma vez. Para os valores x 1 ,   .   .   .   ,   y 3 , use os valores da solução exata arredondados para seis dígitos: x 1 = 1,12735 ; x 2 = 1,32042 ; x 3 = 1,60021 ; y 1 = - 0,111255 ; y 2 = - 0,250847 e y 3 = - 0,429696 .

Passo 1

Dado que o problema do valor inicial é,

x ’ = x – 4 y ,   y ’ = - x + y

com  X 0 = 1 ,   Y 0 = 0 . A generalização do método nos fornece:

x n + 1 = x n + 1 24 h 55 f n - 59 f n - 1 + 37 f n - 2 - 9 f n - 3

y n + 1 = y n + 1 24 h 55 g n - 59 g n - 1 + 37 g n - 2 - 9 g n - 3

Que após a correção tornam-se:

x n + 1 = x n + 1 24 h 9 f n + 1 + 19 f n - 5 f n - 1 + f n - 2

y n + 1 = y n + 1 24 h 9 g n + 1 + 19 g n - 5 g n - 1 + g n - 2

Agora iremos usar os valores iniciais da solução exata, para obter:

Finalmente, iremos utilizar uma única etapa por meio do método previsão e correção, que resulta em valores aproximados:

Você vai notar que os valores de x n y n usando os métodos previsão e correção são bastante próximos, como eles só diferem na 3ª casa decimal.

Resposta

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Em cada um dos problemas de 17 a 34, encontre todos os pontos singulares da equação dada e determine se cada um deles é regular ou irregular.30. x 2 y ″+2 ( e x-1 ) y '+( e - xc o sx ) y=0
Em cada um dos problemas de 17 a 34, encontre todos os pontos singulares da equação dada e determine se cada um deles é regular ou irregular.32. x y ″+y '+( c o tx ) y=0
Em cada um dos problemas de 17 a 34, encontre todos os pontos singulares da equação dada e determine se cada um deles é regular ou irregular.33. ( s e nx ) y ″+x y '+4 y=0
Em cada um dos problemas de 17 a 34, encontre todos os pontos singulares da equação dada e determine se cada um deles é regular ou irregular.34. ( xs e nx ) y ″+3 y '+x y=0