9 - Considere o problema de valor inicial x' = f(t, x, y) e y' = g(t, x, y) , com x(t_0) = x_0 ey(t_0) = y_0 .

A generalização do método de previsão e correção de Adam-Moulton da Seção 8.4 é

x_(n+1) = x_n + (1/24) \* h \* (55f_n - 59f_(n-1) + 37f_(n-2) - 9f_(n-3))

yn+1 = yn + 1/24 \* h(55\*gn - 59\*gn-1 + 37\*gn-2 - 9\*gn-3)

e

x_(n+1) = x_n + (1/24)h(9f_(n+1) + 19f_n - 5f_(n-1) + f_(n-2))

y_(n+1) = y_n + (1/24) \* h \* (9\*g_(n+1) + 19\*g_n - 5\*g_(n-1) + g_(n-2))

Determine um valor aproximado da solução em t = 0,4 para o problema de valor inicial do exemplo,x’ = x - 4y , y’ = -x + y

Com x(0) = 1, y(0) = 0 . Useh = 0,1 . Corrija o valor previsto uma vez. Para os valores x1, ..., y3 , use os valores da solução exata arredondados para seis dígitos:x_1 = 1,12735 ;x_2 = 1,32042 ;x_3 = 1,60021 ;y1 = -0,111255 ; y_2 = -0,250847 e y_3 = -0,429696

Passo 1

Dado que o problema do valor inicial é,

x ’ = x – 4 y ,   y ’ = - x + y

com  X 0 = 1 ,   Y 0 = 0 . A generalização do método nos fornece:

x n + 1 = x n + 1 24 h 55 f n - 59 f n - 1 + 37 f n - 2 - 9 f n - 3

y n + 1 = y n + 1 24 h 55 g n - 59 g n - 1 + 37 g n - 2 - 9 g n - 3

Que após a correção tornam-se:

x n + 1 = x n + 1 24 h 9 f n + 1 + 19 f n - 5 f n - 1 + f n - 2

y n + 1 = y n + 1 24 h 9 g n + 1 + 19 g n - 5 g n - 1 + g n - 2

Agora iremos usar os valores iniciais da solução exata, para obter:

Finalmente, iremos utilizar uma única etapa por meio do método previsão e correção, que resulta em valores aproximados:

Você vai notar que os valores de x n y n usando os métodos previsão e correção são bastante próximos, como eles só diferem na 3ª casa decimal.

Resposta

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