Considere o problema do valor inicial:

y' = -10y + 2,5t^2 + 0,5t y(0) = 4

a) Encontre a solução y = ∅(t) ) e desenhe seu gráfico para 0 ≤ t ≤ 5.

b) A análise de estabilidade no texto sugere que para este problema o método de Euler só é estável para h < 0,2 . Confirme que isso é verdade aplicando o método de Euler a esse problema para 0 ≤ t ≤ 5 com tamanhos de passos próximos de 0,2 .

c) Aplique o método de Runge-Kutta a este problema para 0 ≤ t ≤ 5 com diversos tamanhos de passos. 0 que você pode concluir sobre a estabilidade desse método?

d) Aplique o método de Euler inverso a este problema para 0 ≤ t ≤ 5 com diversos tamanhos de passos. Qual o tamanho de passo necessário para que o erro em t = 5 seja menor do que 0,01 ?

Passo 1

Saudações galerinha! Tudo bem?

Vamos juntos resolver mais um exercício?

Bora lá começar então!

Primeiramente temos uma EDO y ' =   - 10 y + 2,5 t 2 + 0,5 t                   com uma solução homogênea dada por:

y h = C e - 10 t

Podemos determinar a solução particular a partir dos coeficientes da equação:

y p = A t 2 + B t + C

Substituindo por:

A =   ¼   ,   B = C = 0 . O valor de C que satisfaz a equação será C = 4 .

Logo:

Y ( t ) =   4   e - 10 t + t 2 4

Podemos representa essa solução através do gráfico.

Passo 2

Para esse item devemos levar em consideração a equação 15 apresentada nesta seção. Tranquilo!

Atraves desta equação observamos que h deve ser menor que 2 / | r | , Para que o método de Euler seja estável devemos ter que r = 10   ,   h < 0,2

Com h=0.2 podemos encontrar os valores das variáveis e organizar em uma tabela:

Com h=0.18podemos encontrar os valores das variáveis e organizar em uma tabela:

Claramente, o segundo conjunto de valores é estável, embora longe de ser preciso.

Até aí tranquilo?

Bora continuar então!

Passo 3

Aplicando o método Runge-Kutta vamos obter as seguintes valores intermediários

Com h=0.25 podemos encontrar os valores das variáveis e organizar em uma tabela:

Com h=0.28 podemos encontrar os valores das variáveis e organizar em uma tabela:

Com h=0.3 podemos encontrar os valores das variáveis e organizar em uma tabela:

Assim, a instabilidade parece ocorrer em torno de h   =   0,28 e certamente por h   =   0,3 . Observe que a solução exata para   t   =   5   é   y   =   6,2500 , então para h   =   0,25 obtemos um boa aproximação.

Passo 4

Para h   =   0,5 o erro em t   =   5   é   0,013 , enquanto para h   =   0,385 , o erro em t   =   5,005   é 0,01 .

Te vejo na próxima questão!

Resposta

a) Y ( t ) =   4   e - 10 t + t 2 4

b)

c)

A instabilidade parece ocorrer em torno de h   =   0,28

d) Para h   =   0,5 o erro em t   =   5   é   0,013 , enquanto para h   =   0,385 , o erro em t =   5,005   é 0,01 .