Enunciado

1. Considere a série

∑ k = 1 + ∞ - 1 k + 1 ⋅ 1 k

Já sabemos que esta série é convergente e tem por soma ln ⁡ 2 .

B - Mostre que existe uma reordenação desta série com soma s , onde s é uma real qualquer.

Passo 1

Que questão linda, neh? Um matemático até se emocionaria! Pena que não somos um ne não?

Calma, muleque! Não é impossível. Essa dica que ele deu aí é a chave, veja!

Passo 2

A série

∑ k = 1 + ∞ - 1 k + 1 ⋅ 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + 1 5 + …

Sabemos que essa série aí tem o resultado ln ⁡ 2 , mas se organizamos de modo que somemos apenas os positivos primeiro e os negativos a gente soma só depois de todos os positivos, como a série é infinita, sempre vai ter um positivo a mais pra por de modo que nunca vamos conseguir somar os negativos e aí essa série passa a ser:

1 + 1 3 + 1 5 + … = + ∞

Saca?

ORA! Se em uma organização ela dá ln ⁡ 2 e em outra ela já vai para o infinito, deve existir uma organização que ela dá um número intermediário, tipo s , saca? E de fato, se consideramos um k c = C , para algum n > 1 , existe esse C de modo que a soma dos C ’s primeiro positivos e depois dos C ’ primeiros negativos e assim sucessivamente como aqui:

1 + 1 3 + 1 5 … + 1 k c - 1 2 - 1 4 - 1 6 - … - 1 k c - 1 + …

Essa série passa a ser s :

1 + 1 3 + 1 5 … + 1 k c - 1 2 - 1 4 - 1 6 - … - 1 k c - 1 + … = s

Nesse caso, s certamente será positivo, mas se quisermos um s negativo, basta consideramos os negativos começando:

- 1 2 - 1 4 - 1 6 - … - 1 k c - 1 + 1 + 1 3 + 1 5 … + 1 k c - … = s       ( n e g a t i v o )

Então de fato s pode ser qualquer número real que sempre acharemos um número C de elementos a colocar primeiro de modo que a soma acaba sendo igual a ele no final das contas .

Resposta

Questão de demonstração.

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