Enunciado

1. Considere a série

∑ k = 1 + ∞ - 1 k + 1 ⋅ 1 k

Já sabemos que esta série é convergente e tem por soma ln ⁡ 2 .

A - Mostre que existe uma reordenação desta série com soma 10 . Observe que...

1 + 1 3 + 1 5 + … = + ∞

B - Mostre que existe uma reordenação desta série com soma s , onde s é uma real qualquer.

C - Mostre que existe uma reordenação com soma + ∞ e outra com soma - ∞ .

Passo 1

Que questão linda, neh? Um matemático até se emocionaria! Pena que não somos um ne não?

Calma, muleque! Não é impossível. Essa dica que ele deu aí é a chave, veja!

Passo 2

A série

∑ k = 1 + ∞ - 1 k + 1 ⋅ 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + 1 5 + …

Sabemos que essa série aí tem o resultado ln ⁡ 2 , mas se organizamos de modo que somemos apenas os positivos primeiro e os negativos a gente soma só depois de todos os positivos, como a série é infinita, sempre vai ter um positivo a mais pra por de modo que nunca vamos conseguir somar os negativos e aí essa série passa a ser:

1 + 1 3 + 1 5 + … = + ∞

Saca?

ORA! Isso é se somarmos todos os positivos primeiro, mas e se a gente somar só os negativos primeiro?

- 1 2 - 1 4 - 1 6 - … - 1 k c - 1 + … = - ∞

Sacou?

Resposta

Questão de demonstração.

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