13. Considere o sistema
A - Determine condições para que
B - Determine condições para que a solução tenda para a origem quando , e em espiral.
Passo 1
A solução desse sistema depende da matriz dos coeficientes:
Aonde vimos que a primeira coisa a se fazer é encontrar os autovalores dessa matriz:
As soluções então serão do tipo:
Certo? Onde é uma constante e é o vetor de soluções Bem, como as soluções sempre estão envolvendo exponenciais, observe que a única forma de fazê-las tender a quando é manter o (pelo menos a sua parte real caso ele seja imaginário). Se ele então for menor que , no infinito a exponencial decresce para fazendo esses limites aqui acontecerem:
Passo 2
Ora, de acordo com a teoria, podemos encontrar o determinante assim:
Simplesmente subtraindo da diagonal principal. Calculando o determinante então...
Observe que chegamos à uma equação do segundo grau para . Se resolvermos usando Báskara...
E a solução então...
Agora é que a análise começa! Temos que garantir que seja menor que . Para isso vamos separar em três casos:
Bora analisar garantir que seja menor que em todos os três?
Passo 3
Poxa, se o vai ter duas partes:
Veja que em todas as duas partes, a chance que tem de ser negativo é impondo que a soma deve também ser negativa. Isto é:
Mas ainda não é o suficiente (pelo menos não para )! Afinal, em temos um termo positivo e que pode vir a ser maior em módulo que e tornar positivo, saca?
Então, temos que garantir que em módulo, seja maior que a raiz:
Aí sim o número negativo supera o positivo, saca? Elevando todo mundo ao quadrado...
Poxa! Quem é esse termo dos parênteses? É o determinante da nossa matriz !
Então...
Isso significa que o determinante de tem que ser maior que também:
Beleza, então aqui encontramos duas condições para os ’s serem negativo. Agora vamos para o segundo caso!
Passo 4
No segundo caso, o será assim:
Observe então que para ser menor que , precisamos novamente que seja menor que zero:
Além disso, como , podemos tirar que...
Ora bolas, perceba que o termo do segundo parênteses não pode ser , porque se não:
E ele também não pode ser negativo pelo mesmo motivo (se ele for negativo, o produto por o tona positivo e somando com aquele quadrado gera um positivo maior ainda e com certeza será diferente de )! Então a única alternativa é:
Ou seja:
Passo 5
Para o terceiro caso teremos...
Como , então será imaginário:
Ora, vimos que para o expoente da exponencial da resposta ser negativo, pelo menos a parte real deve ser menor que (a parte imaginária é a parte da oscilação do seno e cosseno). Para a parte real ser negativa, novamente temos que:
Ainda, sabemos que , ou seja:
Para isso ser menor que , o que está no segundo parênteses não pode ser e nem negativo. Se isso acontecer vira positivo! Então a única chance disso ser verdade é se...
Passo 6
Conclusão: Nos três casos, pudemos observar que a única chance de ser negativo e, portanto, fazer os limites...
Serem verdades é se...
E se...
Resposta
Duas condições: