Considere o sistema x ˙ = x + y y ˙ = 2 x + 2 y Prove que, se x = x t y = y t t ∈ R For uma solução desse sistema, então será também, solução da equação: 2d x - d y = 0 , Conclua que a trajetória desta solução está contida na reta y - 2 x = k , para alguma constante k .

Considere o sistema

Prove que, se

For uma solução desse sistema, então será também, solução da equação:

Conclua que a trajetória desta solução está contida na reta , para alguma constante

Primeiramente perceba que temos uma equação diferencial linear de primeira ordem e homogênea.

E note que no sistema,

Esse sistema pode ser reescrito da seguinte forma:

Então o sistema è equivalente à seguinte equação:

Isso significa que uma solução para o sistema trivialmente é também uma solução para a equação:

Agora, para responder a outra parte da pergunta vamos introduzir a interpretação geométrica de uma EDO de 1º ordem.

Basicamente resolver uma equação diferencial significa determinar curvas cujas retas tangentes no ponto têm inclinação:

Portanto,

Na nossa equação:

Se integrarmos obtemos a equação da reta:

E então,

Portanto, como o sistema é equivalente à equação , a solução é a mesma para ambos.

E utilizando a interpretação geométrica de uma equação diferencial, encontramos que a trajetória da solução é uma reta do tipo: