Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Considere o sistema

x ˙ = x + y y ˙ = 2 x + 2 y

(d) Seja c ≠ 0 um dado real. Desenhe a trajetória da solução que satisfaz as condições iniciais x 0 = - c   e y 0 = c .

Passo 1

Vimos na alternativa B que, uma solução para esse sistema teria a seguinte forma:

x y = C 1 1 - 1 + C 2 1 2 e 3 t

Ou “abrindo” as matrizes:

x t = C 1 + C 2   e 3 t y t = - C 1 + 2   C 2 e 3 t

Passo 2

Então, utilizando desse resultado, devemos simplesmente aplicar as condições iniciais:

x 0 = - c y 0 = c

Teremos:

x 0 = C 1 + C 2 = - c y 0 = - C 1 + 2 C 2 = c

Passo 3

De forma que facilmente encontramos:

C 1 = - c       e   C 2 = 0

Portanto, a solução para o sistema:

x y = - c 1 - 1

Ou,

x t = - c y t = c

Na alternativa A, vimos que uma solução para o sistema, seria também uma solução para a equação:

y - 2 x = k

Substituindo:

c - 2 c = k

k = - c

Portanto, a solução possui uma trajetória do tipo:

y - 2 x + c = 0

Com c ≠ 0 .

Resposta

Concluimos então que, a solução para as condições iniciais dadas é da forma:

x t = - c y t = c

Cuja trajetória é uma reta do tipo:

y = 2 x - c

Ver Outros Exercícios desse livro