Construção de tubulação de água

Uma tubulação de água será construída com um desnível de 20% na direção norte e um desnível de 10% na direção leste. Determine o ângulo θ necessário na tubulação de água para o cotovelo de norte para leste.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de produto escalar.

Vamos agora resolver os exercícios da seção 3 sobre ângulos entre vetores.

Inicialmente podemos escrever o vetor na direção norte com seu desnível ascendente de 20% (cota = eixo z) da seguinte forma:

u = 10 i + 2 k

Sendo que este vetor é paralelo ao tubo na direção norte (semi eixo x positivo).

De forma similar, escrevemos um vetor paralelo ao tubo na direção leste (semi eixo y positivo), com seu desnível ascendente de 10% (cota = eixo z):

v = 10 j + k

Daí, sabemos que:

cos ⁡ θ = u ∙ v u v

Então, inicialmente teremos o produto escalar:

u ∙ v = 10 i + 2 k ∙ 10 j + k = 10 ∙ 0 + 0 ∙ 10 + 2 ∙ 1 = 2

E os módulos:

u = 1 0 2 + 2 2 + 0 2 = 1 00 + 4 = 104 = 2 26

v = 0 2 + 1 0 2 + 1 2 = 100 + 1 = 101

Daí, temos que:

cos ⁡ θ = u ∙ v u v = 2 2 26 ∙ 101

Passo 2

Logo:

θ = a r c cos ⁡   1 26 ∙ 101 ≅ 88 , 88 °

Devemos transformar a medida de graus para radianos:

θ ≅ 88,88 ° ∙ π   r a d 180 ° ≅ 1 , 55   r a d

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

1,55   r a d