Enunciado

É convergente ou divergente? Justifique.

d) ∑ k = 3 + ∞ 1 k ⋅ ln ⁡ k 10

Passo 1

Nesse problema iremos aplicar o teste do limite para descobrirmos se a mesma converge ou diverge. Pra isso, vamos ter que fazer algumas manipulações com nossa expressão a k e também com c k .

Passo 2

Bom, vamos começar. Esse item é um pouco diferente de todos, já que o mesmo tem uma resposta mostrada no Exemplo 2 da Seção 3.1: critério da integral, mas aqui vamos mostrar que o critério do limite e da comparação não nos dá nenhum resultado. Vamos escolher nossa c k = 1 / k 2 , que é uma série convergente como já vimos. Se aplicarmos o critério do limite, vamos ter que

lim k → + ∞ ⁡ 1 k ⋅ ln ⁡ k 10 1 k 2 = lim k → + ∞ ⁡ k ln ⁡ k 10 = + ∞

Ou seja, nosso teste do limite fracassou miseravelmente, já que escolhemos uma série convergente e aplicamos o teste, porém o mesmo nos diz que não é convergente. Já o teste da integral nos diz que essa série é convergente.

Resposta

C o n v e r g e n t e

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