Enunciado

É convergente ou divergente? Justifique.

  1. ∑ k = 3 + ∞ k 2 + 5 k 2 ⋅ ln ⁡ k 3

Passo 1

Nesse problema iremos aplicar o teste do limite para descobrirmos se a mesma converge ou diverge. Pra isso, vamos ter que fazer algumas manipulações com nossa expressão a k e também com c k .

Passo 2

Bom, vamos começar. Vamos aplicar para esse exercício o teste do limite. Nossa sequencia escolhida para comparação será c k = 1 ln ⁡ k 3 que como vimos no exercício 5b) é divergente, e nossa sequência que queremos descobrir é a k = k 2 + 5 k 2 ⋅ ln ⁡ k 3 . Fazendo lim k → + ∞ ⁡ a k c k , vamos ter que

lim k → + ∞ ⁡ k 2 + 5 k 2 ⋅ ln ⁡ k 3 1 ln ⁡ k 3 = lim k → + ∞ ⁡ k 2 + 5 k 2 = 1 + lim k → + ∞ ⁡ 5 k 2 = 1

Como nosso limite deu maior que zero, entramos no primeiro caso do critério do limite, onde ou as duas séries são convergentes ou são divergentes. Como nossa série de comparação é divergente, temos então que a única opção que sobra para nossa série inicial é também ser divergente.

Resposta

D i v e r g e n t e

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