Converta para coordenadas cilíndricas e calcule:

int_(- 2)^2 int_(- sqrt(4 - x^2))^(sqrt(4 - x^2)) int_((x^2 + y^2)^2)^(16) x^2 d z d y d x

Passo 1

Fala galera! Vamos iniciar essa questão, dessa vez uma integral tripla.

O cálculo da integral tripla acontece da mesma forma que a integral dupla. Vamos integrar de dentro para fora, ou seja, vamos começar da derivada interna e ir para a externa.

Passo 2

Vamos começar transformar os limites de integração.

16 <= z <= (x^2 + y^2)^2

r^2 = x^2 + y^2

16 <= z <= r^4

- sqrt(4 - x^2) <= y <= sqrt(4 - x^2)

r^2 = x^2 + y^2 = 4

0 <= y <= 2

- 2 <= x <= 2

0 <= theta <= 2 pi

x = r c o s theta

int_0^(2 pi) int_0^2 int_(r^4)^(16) r^2 theta r d z d r d theta

Passo 3

Resolvendo a integral:

int_0^(2 pi) int_0^2 int_(r^4)^(16) r^2 theta r d z d r d theta = int_0^(2 pi) int_0^2 [z r^3 theta]_(r^4)^(16) d r d theta = int_0^(2 pi) int_0^2 (16 r^3 theta - r^7 theta) d r d theta = int_0^(2 pi) int_0^2 (16 r^3 theta - r^7 theta) d r d theta = int_0^(2 pi) [(16)/(4) r^4 theta - (r^8)/(8) theta]_0^2 d theta = int_0^(2 pi) (64 theta - 32 theta) d theta = int_0^(2 pi) (32 ((1 + c o s 2 theta)/(2))) d theta = [32 ((theta - s e n 2 theta)/(2))]_0^(2 pi) = 32 ((2 pi - s e n 2 ( 2 pi ))/(2)) = 32 pi

Resposta

32 pi