Enunciado

Cálculo - Anton, Bivens, Davis - Cálculo Vol 2 - Capítulo 14.Revisão - Ex. 21

Converta para coordenadas cilíndricas e calcule:

∫ - 2 2 ∫ - 4 - x 2 4 - x 2 ∫ x 2 + y 2 2 16 x 2 d z d y d x

Passo 1

Fala galera! Vamos iniciar essa questão, dessa vez uma integral tripla.

O cálculo da integral tripla acontece da mesma forma que a integral dupla. Vamos integrar de dentro para fora, ou seja, vamos começar da derivada interna e ir para a externa.

Passo 2

Vamos começar transformar os limites de integração.

16 ≤ z ≤ x 2 + y 2 2

r 2 = x 2 + y 2

16 ≤ z ≤ r 4

- 4 - x 2 ≤ y ≤ 4 - x 2

r 2 = x 2 + y 2 = 4

0 ≤ y ≤ 2

- 2 ≤ x ≤ 2

0 ≤ θ ≤ 2 π

x = r c o s θ

∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ r 4 16 r 2 θ   r d z d r d θ

Passo 3

Resolvendo a integral:

∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ r 4 16 r 2 θ   r d z d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 z r 3 θ   r 4 16 d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 16 r 3 θ   - r 7 θ   d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 16 r 3 θ   - r 7 θ   d r d θ = ∫ 0 2 π 16 4 r 4 θ   - r 8 8 θ   0 2 d θ = ∫ 0 2 π 64 θ   - 32 θ   d θ = ∫ 0 2 π 32 1 + c o s 2 θ 2 d θ = 32 θ - s e n 2 θ 2 0 2 π = 32 2 π - s e n 2 ( 2 π ) 2 = 32 π

Resposta

32 π

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