Enunciado

Converta para coordenadas esféricas e calcule:

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 ∫ 0 1 - x 2 - y 2 1 1 + x 2 + y 2 + z 2 d z d y d x

Passo 1

Fala galera! Vamos iniciar essa questão, dessa vez uma integral tripla.

O cálculo da integral tripla acontece da mesma forma que a integral dupla. Vamos integrar de dentro para fora, ou seja, vamos começar da derivada interna e ir para a externa.

A conversão de integrais triplas de coordenadas retangulares para esféricas é feita através da seguinte equação:

∭ G f x , y , z d V = ∭ l i m i t e s a p r o p r i a d o s f ρ s e n ∅ c o s θ , ρ s e n ∅ s e n θ , ρ c o s ∅ ρ 2 s e n ∅ d ρ d ∅ d θ

Passo 2

Vamos começar transformar os limites de integração.

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 ∫ 0 1 - x 2 - y 2 1 1 + x 2 + y 2 + z 2 d z d y d x

0 ≤ z ≤ 1 - x 2 - y 2

1 2 = x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2

0 ≤ ρ ≤ 1

0 ≤ y ≤ 1 - x 2

r 2 = x 2 + y 2 = 1

0 ≤ ∅ ≤ π / 2

0 ≤ x ≤ 1

0 ≤ θ ≤ π / 2

∫ 0 π / 2 ∫ 0 π / 2 ∫ 0 1 1 1 + ρ 2 ρ 2 s e n ∅ d ρ d ∅ d θ

Passo 3

Resolvendo a integral:

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 ∫ 0 1 1 1 + ρ 2 ρ 2 s e n ∅ d ρ d ∅ d θ = ∫ 0 π / 2 ∫ 0 π / 2 a r c t g ( ρ ) s e n ∅ 0 1 d ∅ d θ = ∫ 0 π / 2 ∫ 0 π / 2 1 - π 4 s e n ∅ d ∅ d θ = ∫ 0 π / 2 - 1 - π 4 c o s ∅ 0 π / 2 d θ = ∫ 0 π / 2 - 1 - π 4 c o s c o s   π 2   + 1 - π 4 c o s c o s   0   d θ = ∫ 0 π / 2 1 - π 4 d θ = 1 - π 4 θ 0 π / 2 = 1 - π 4   π 2

Resposta

1 - π 4   π 2

Exercícios de Livros Relacionados

Uma pessoa cujo peso é 5,20 10 2 N está sendo puxada para cima vertica
Uma pequena esfera é pendurada por uma corda no teto de uma van. Quand
Mostre que o comprimento de atenuação Λ é igual à distância média que
Deve-se usar a expressão relativística para a energia cinética do elét
Use os dados da figura 2-17 para calcular a espessura de uma lâmina de