Converta para coordenadas esféricas e calcule:

int_0^1 int_0^(sqrt(1 - x^2)) int_0^(sqrt(1 - x^2 - y^2)) (1)/(1 + x^2 + y^2 + z^2) d z d y d x

Passo 1

Fala galera! Vamos iniciar essa questão, dessa vez uma integral tripla.

O cálculo da integral tripla acontece da mesma forma que a integral dupla. Vamos integrar de dentro para fora, ou seja, vamos começar da derivada interna e ir para a externa.

A conversão de integrais triplas de coordenadas retangulares para esféricas é feita através da seguinte equação:

∭_G^() f (x , y , z) d V = ∭_((l i m i t e s)/(a p r o p r i a d o s))^() f (rho s e n O/ c o s theta , rho s e n O/ s e n theta , rho c o s O/) rho^2 s e n O/ d rho d O/ d theta

Passo 2

Vamos começar transformar os limites de integração.

int_0^1 int_0^(sqrt(1 - x^2)) int_0^(sqrt(1 - x^2 - y^2)) (1)/(1 + x^2 + y^2 + z^2) d z d y d x

0 <= z <= sqrt(1 - x^2 - y^2)

1^2 = x^2 + y^2 + z^2 = rho^2

0 <= rho <= 1

0 <= y <= sqrt(1 - x^2)

r^2 = x^2 + y^2 = 1

0 <= O/ <= pi // 2

0 <= x <= 1

0 <= theta <= pi // 2

int_0^(pi // 2) int_0^(pi // 2) int_0^1 (1)/(1 + rho^2) rho^2 s e n O/ d rho d O/ d theta

Passo 3

Resolvendo a integral:

int_0^((pi)/(2)) int_0^((pi)/(2)) int_0^1 (1)/(1 + rho^2) rho^2 s e n O/ d rho d O/ d theta = int_0^(pi // 2) int_0^(pi // 2) [a r c t g ( rho ) s e n O/]_0^1 d O/ d theta = int_0^(pi // 2) int_0^(pi // 2) (1 - (pi)/(4)) s e n O/ d O/ d theta = int_0^(pi // 2) [- (1 - (pi)/(4)) c o s O/]_0^(pi // 2) d theta = int_0^(pi // 2) (- (1 - (pi)/(4)) c o s c o s ((pi)/(2)) + (1 - (pi)/(4)) c o s c o s (0)) d theta = int_0^(pi // 2) (1 - (pi)/(4)) d theta = [(1 - (pi)/(4)) theta]_0^(pi // 2) = (1 - (pi)/(4)) (pi)/(2)

Resposta

(1 - (pi)/(4)) (pi)/(2)