Converta para coordenadas polares e calcule:

int_0^(sqrt(2)) int_x^(sqrt(4 - x^2)) 4 x y d y d x

Passo 1

Fala galera! Vamos iniciar mais essa questão.

Considerando que:

x = r c o s theta

y = r s e n theta

y = sqrt(4 - x^2) -> x^2 + y^2 = 4

r^2 = x^2 + y^2 = 4 -> r = 2

0 <= r <= 2

pi // 4 <= theta <= pi // 2

Assim, temos que a integral fica:

int_(pi // 4)^(pi // 2) int_0^2 4 r^2 c o s theta s e n theta r d r d theta = int_(pi // 4)^(pi // 2) int_0^2 2 r^3 s e n 2 theta d r d theta

Passo 2

Agora é só resolver

int_(pi // 4)^(pi // 2) int_0^2 2 r^3 s e n 2 theta d r d theta int_(pi // 4)^(pi // 2) [(r^4)/(2) s e n 2 theta]_0^2 d theta = int_(pi // 4)^(pi // 2) 8 s e n 2 theta d theta = [- 4 c o s 2 theta]_(pi // 4)^(pi // 2) = - 4 c o s 2 ((pi)/(2)) + 4 c o s 2 ((pi)/(4)) = 4

Resposta

4