Enunciado

Cálculo - Anton, Bivens, Davis - Cálculo Vol 2 - Capítulo 8.2 - Ex. 59

Um copo de água a uma temperatura de 95°C é colocado em uma sala com uma temperatura constante de 21°C.

(a) Supondo que a Lei do Resfriamento de Newton se aplique, encontre a temperatura da água t minutos após ser colocada na sala. [Nota: A solução irá envolver uma constante de proporcionalidade.]

(b) Quantos minutos levará para a água atingir uma temperatura de 51°C se ela esfria a 85°C em 1 minuto?

Passo 1

Essa questão é bem fácil de resolver, vamos lá?

a)A letra a) consiste em utilizar os valores dados no comando, sendo T 0 = 95 ° e T a = 21 ° , substituindo na seguinte fórmula da Lei de Resfriamento de Newton:

T t = T a + T 0 - T a   e - k t           →       T t = 21 + 95 - 21   e - k t               ( 1 )

Passo 2

(b)Para sabermos quanto tempo demora para o copo com água atingir a temperatura de 51° podemos primeiro utilizar a informação de que T(1)=85° para descobrirmos o valor da constante “k”

Portanto, substituímos T(1)=85° na equação (1):

85 = 21 + 95 - 21   e - k ( 1 )     →     e - k = 64 74

Aplicamos logaritmo dos dois lados para isolar o “k”

k = - l o g l o g   64 74  

Passo 3

Depois disso, nós substituímos o “k” na equação (1)

T t = 21 + 95 - 21   e t * l o g 64 74                   ( 2 )

E por fim, para descobrirmos quanto tempo demora para o copo com água atingir T(t)=51°, nós substituímos esse valor na equação (2)

51 = 21 + 95 - 21   e t * l o g 64 74     →     30 74 = 64 74 t

Aplicamos a função logarítmica dos dois lados da equação para isolarmos o “t”

l o g 30 74 = l o g 64 74 t       →           t = l o g 30 74 l o g 64 74       ≈       6,22   m i n u t o s

Resposta

T t = 21 + 95 - 21   e - k t

6,22 minutos

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