Enunciado

Um copo de limonada a uma temperatura de 40°F é colocado em uma sala a uma temperatura constante de 70°F e, 1 hora mais tarde, a sua temperatura é de 52°F. Mostre que t horas após a limonada ter sido colocada na sala, sua temperatura é dada por T = 70 − 30e−0,5t

Passo 1

E vamos resolver mais uma?

Primeiramente, temos que encontrar uma equação do problema de acordo com a Lei do Resfriamento de Newton, assim, no t=0, podemos substituir a temperatura do ambiente de T a =70°

d T d t = k T a - T         →       d T d t = k 70 - T

Utilizando o método de Separação de Variáveis a equação (1), esse método consiste em colocar a equação no modelo: d y d x = g ( x ) p ( y ) , sendo que cada termo deve ser dependente de apenas uma variável, ou seja, de um lado da equação tem apenas termos com “x” e no outro apenas com “y”, podemos utilizar essa estratégia:

d T d t = k T - T a     →     1 70 - T     d T = k   d t

Depois de separar as variáveis, nós integramos dos dois lados:

∫ 1 70 - T     d T = ∫ k   d t         →       70 - T   = k t + C

Para retirar o logaritmo das variáveis, nós elevamos os dois lados da equação à base “e” considerando “C” uma constante da diferença de temperatura

- l o g l o g   70 - T   = k t + C       →       70 - T = e - k t - C                 ( 1 )

Passo 2

Para descobrimos o valor de “C” utilizamos as informações que o comando da questão deu, logo: t=0 e T=40°, substituindo na equação (1)

70 - 40 = e - k 0 - C           →           e - C = 30

Depois usamos o valor de “ e - C “ na equação (1), temos:

T = 70 - 30   e - k t                           ( 2 )  

Passo 3

E por fim, para descobrirmos o valor da constante “K” utilizamos as informações que o comando da questão deu, logo: T=52° e t=1, substituindo na equação (2)

52 = 70 - 30   e - k ( 1 )         →             e - k =   70 - 52 30

Aplicamos função logarítmica nos dois lados da equação para isolarmos o “k”

k =   -   l o g 70 - 52 30       ≈       0,5

Para terminar, basta substituir o valor da constante “k” na equação (2)

T = 70 - 30   e - 0,5 * t

Resposta

T = 70 - 30   e - 0,5 * t

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