Quando uma corda vibrante é sujeita a uma força vertical externa que varia com a distância horizontal da extremidade esquerda, a equação da onda toma a forma.

a^2 * (d^2 u / d^2 x) + A x = (d^2 u / d^2 t) .

Resolva essa equação de derivadas parciais sujeita a

u(0, t) = 0, u(1, t) = 0, t > 0

u(x, 0) = 0, du/dt|t=0 = 0, 0 < x < 1.

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão ele pede para solucionarmos as equações dadas abaixo:

a 2 d 2 u d x 2 + A x = d 2 u d t 2 .  

u 0 , t = 0   ,       u 1 , t = 0   ,       t > 0    

u x , 0 = 0 ,           d u d t ​ t = 0 = 0 ,       0 < x < 1 .

Passo 2

Dado que,

a 2 d 2 u d x 2 + A x = d 2 u d t 2 .  

u 0 , t = 0   ,       u 1 , t = 0   ,       t > 0    

u x , 0 = 0 ,           d u d t ​ t = 0 = 0 ,       0 < x < 1 .

Vamos ter que,

u x , t = - r 2 k x 2 + r 2 k + u 0 x + ∑ n = 1 ∞ A n e - k n 2 π 2 t sin ⁡ n π x

u x , t = A 6 a 2 x - x 3 + 2 A a 2 π 3 ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 3 cos ⁡ n π a t . sin ⁡ n π x

Gostou meus abençoados? espero ter ajudado.

Resposta

u x , t = A 6 a 2 x - x 3 + 2 A a 2 π 3 ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 3 cos ⁡ n π a t . sin ⁡ n π x