Um corpo de massa m constante é lançado no espaço e supõe-se que a única força atuando sobre ele seja o seu peso que, pela lei do inverso do quadrado de Newton, é proporcional ao inverso do quadrado da sua distância ao centro da terra. Sendo x a distância do corpo à terra e R o raio da terra, o peso do corpo à distância x da terra será K / (x + R)^2, K constante. Como, ao nível do mar, ou seja, para x = 0 , o peso é m * g , onde g é a aceleração gravitacional ao nível do mar e suposta constante, segue que o valor da constante K é determinado fazendo x = 0 na expressão do peso e igualando a m * g , para se obter K = m * g * R^2 . Dessa forma, o movimento do corpo é regido pela equação

m''(x) = - (m * g * R^2) / ((x + R)^2), ou seja, x'' = - (g * R^2) / ((x + R)^2)

Suponha que o corpo é lançado com uma velocidade inicial v(0) = ∝.

b) Qual o menor valor de proporcional a (velocidade de escape) para que o corpo não retorne à terra?

Passo 1

Meus crânios:

Para que o corpo retorne à terra, para algum x deveremos ter v = 0 :

0 = g R 2 x + R + ∝ 2 2 - g R

Isolando x , que é o nosso alvo:

x = R ∝ 2 2 g R - ∝ 2

Sendo x > 0 , deveremos ter:

∝ 2 < 2 g R

Como queremos o valor mínimo, vamos ter o limite onde:

∝ = 2 g R

Resposta

∝ = 2 g R

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