Corrida de carros.Dois motoristas , Alison e Kevin, estão participando de uma corrida de carros. Começando parados, cada um deles prossegue com uma aceleração constante . Alisson, percorre o último ¼ da distância em 3 segundos, em 3 segundos, ao passo que Kevin percorre o último 1 ⁄ 3 da distância em 4 segundos. Quem vence e com qual diferença de tempo?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Objetivo:

Descubra quem termina primeiro, Kevin ou Alison. (ou seja, chega em menos tempo).

A equação que descreve a posição de Alison ou Kevin é semelhante ao caso da queda livre na p.1 no sentido de que: ambos os objetos aceleram e, portanto, podemos descrever a posição de Alison como X A usando:

d ² X A d t ²   =   a A

Onde a A é a aceleração de Alison (dada como uma constante.)

Integrando ambos os lados em relação ao tempo t temos:

d X A d t   =   a A t   +   v A

Onde v A é a velocidade inicial de Alison (velocidade no tempo t=0 , a constante de integração). Integrando ambos os lados em relação a t novamente:

X A ( t )   =   a A t ² 2 + v A t + X A 0

Onde X A 0 é a posição inicial de Alison (posição no tempo t=0, ponto de início da corrida). Da mesma forma, para a posição de Kevin X K ​:

X K ( t )   =   a K t ² 2 + v k t + X K 0

Passo 2

∵ é dado que ambos os corredores partem de “partida parada", isso significa que suas velocidades iniciais são zeros ∴ v k   =   v A = 0

Além disso, ∵ nenhum eixo é definido no enunciado do problema, podemos definir o eixo como 0 no ponto inicial da corrida

X A   =   X K   =   0 em t=0. Isso simplifica nossas duas equações para:

X A ( t )   =   a A t ² 2 para Alison

X K ( t )   =   a k t ² 2 para Kevin

Vamos supor que a pista de corrida tenha um comprimento D. Para obter o tempo final de cada um deles, precisamos primeiro obter a aceleração de cada um e substituir na equação de posição por X A   =   X K   =   D para obter t K   e   t A , Kevin e os tempos de acabamento de Alison, respectivamente.

∵ Alison cobre os últimos 1 4 ​ da distância em 3 segundos, usamos a equação de posição com X A   = 3 4 D uma vez e com X A   =   D uma vez, e calcule a A ​ sabendo que a diferença de tempo = 3 segundos:

3 4 D   =   a A ( t 3 4 ) ² 2 ,

t 3 4     =   3 D 2 a A

D   =   a A ( t A ) ² 2 ,

t A = 2 D a A

onde: ( t A - t 3 4 )   =   3

( t A - t 3 4 )   =   3 = 2 D a A - 3 D 2 a A

Elevando ambos os lados ao quadrado e resolvendo para a A ​, obtemos:

9   =   2 D a A + 3 D 2 a A - 2 D a A 3

a A = ( 7 - 4 3 ) 18 D

Passo 3

Da mesma forma, para Kevin,

Ele cobre os últimos 1/3​ da distância em 4 segundos. Então, podemos usar a equação de posição com X D   =   2 3 D uma vez e com X K =   D uma vez, e calcule a K sabendo que a diferença de tempo = 4 segundos.

2 3 D   =   a k ( t 2 3 ) ² 2 ,

D   =   a K ( t K ) ² 2

t K =   2 D a k

onde ( t K - t 2 3 ) = 4

( t k - t 2 3 )   =   4   =   2 D a k - 4 D 3 a k

Elevando ambos os lados ao quadrado e resolvendo para a k ​, obtemos:

a k   =   D 16 ( 10 3 - 4 2 3 )

Substituindo a A ​ na expressão por t A (eq.1) e a K ​ na expressão por t k (eq.2):

t K   =   32 D ( 10 3 - 4 2 3 ) D =   32 ( 10 3 - 4 2 3 ) ≈ 21.798   s

t A   =   36 D ( 7 - 4 3 ) D =   36 ( 7 - 4 3 ) ≈ 22.392   s

Resposta

Como t k é t A , então Kevin chega antes de Alison em cerca de (0,597 segundos).