f(t) = sen(t) i + cos(t) j + 2 k h(t) = 1 / t

Passo 1

  1. underset(t -> 0)(lim) vec f ( t )
  2. Bora que essa é rapidinha!

    underset(t -> 0)(lim) vec f ( t ) = underset(t -> 0)(lim) ( s e n t ) vec i + underset(t -> 0)(lim) ( c o s t ) vec j + underset(t -> 0)(lim) ( 2 ) vec k

    underset(t -> 0)(lim) vec f ( t ) = s e n (0) vec i + cos (0) vec j + 2 vec k

    underset(t -> 0)(lim) vec f ( t ) = 0 vec i + vec j + 2 vec k

    Passo 2

  3. underset(t -> 0)(lim) [ h (t) . vec f (t) ]

Vamos começar calculando esse h (t) . vec f ( t ) . Moleza, né?

h (t) . vec f (t) = ((1)/(t)) . ( s e n (t) vec i + cos (t) vec j + 2 vec k )

h (t) . vec f (t) = (s e n (t))/(t) vec i + (cos (t))/(t) vec j + (2)/(t) vec k

Agora, vamos aplicar o limite:

underset(t -> 0)(lim) [ h (t) . vec f (t) ] = underset(t -> 0)(lim) (s e n (t))/(t) vec i + underset(t -> 0)(lim) (cos (t))/(t) vec j + underset(t -> 0)(lim) (2)/(t) vec k

Aqui fica mais fácil analisar cada limite individualmente.

Já sabemos que o underset(t -> 0)(lim) (s e n (t))/(t) = 1 . Caso fique alguma dúvida de como resolver este limite, veja no tópico de L’Hopital que lá tem explicando o passo a passo. Agora, vamos multiplicar ele pelo vetor vec i .

Temos, então: underset(t -> 0)(lim) (s e n (t))/(t) vec i = vec i .

Vamos analisar agora o limite de underset(t -> 0)(lim) (cos (t))/(t) . Aqui temos uma indeterminação (1)/(0) , ou seja, nosso limite vai tender ao infinito. underset(t -> 0)(lim) (cos (t))/(t) vec j = + oo vec j .

Finalmente, vamos analisar o underset(t -> 0)(lim) (2)/(t) . Aqui também temos uma indeterminação. Neste caso, nosso limite também vai tender ao infinito. underset(t -> 0)(lim) (2)/(t) vec k = + oo vec j .

Juntando tudo, temos:

underset(t -> 0)(lim) [ h (t) . vec f (t) ] = vec i + oo vec j + oo vec k

Resposta

  1. underset(t -> 0)(lim) vec f ( t ) = vec j + 2 vec k
  2. underset(t -> 0)(lim) [ h (t) . vec f (t) ] = vec i + oo vec j + oo vec k