f→(t) = (1/2)sen(t), (1/2)cos(t), raiz(3)/2

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer é mostrar que o hodógrafo de vec f ( t ) está sobre a esfera unitária com centro na origem.

Antes de tudo, vamos interpretar isso aqui!

O que seria uma esfera unitária com centro na origem?

Faz sentido pensar que é uma esfera de raio r = 1 e centro em vec f (t) = ( 0 , 0 , 0 ) .

Agora, vamos relembrar como é a equação geral da esfera:

(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r ²

Onde x_0 , y_0 e z_0 são as coordenadas do centro da esfera.

No nosso caso:

{[[x_0,(t),=,0],[y_0,(t),=,0],[z_0,(t),=,0]])

Substituindo na equação geral da esfera, temos:

(x - 0)^2 + (y - 0) 2 + (z - 0)^2 = 1 ²

x^2 (t) + y^2 (t) + z^2 (t) = 1

Separando as componentes do nosso vec f ( t ) :

{[[x,(t),=,(1)/(2),s,e,n,(t)],[y,(t),=,(1)/(2),cos (t)],[z,(t),=,(sqrt(3))/(2)]])

Finalmente, vamos substituir as componentes de vec f ( t ) na equação geral da esfera com centro na origem raio r = 1 .

((1)/(2) s e n (t))^2 + ((1)/(2) cos (t))^2 + ((sqrt(3))/(2))^2 = 1

(1)/(4) s e n^2 (t) + (1)/(4) c o s^2 (t) + (3)/(4) = 1

Colocando (1)/(4) em evidência e passando para o lado direito da equação:

s e n^2 (t) + c o s^2 (t) + 3 = 4

s e n^2 (t) + c o s^2 (t) = 1

1 = 1

Como a igualdade acima é verdadeira, podemos afirmar que o hodógrafo de vec f ( t ) realmente está sobre a esfera unitária de centro na origem!

Passo 2

Agora queremos determinar um vetor tangente a essa curva no ponto P (0 , (1)/(2) , (sqrt(3))/(2)) .

Bem, pessoal, sabemos que um vetor tangente a uma curva é, na verdade, a derivada da curva naquele ponto, certo?

Então, bora calcular essa derivada!

Pra facilitar, vamos calcular as derivadas das componentes x ( t ) , y ( t ) e z ( t ) e depois juntar tudo.

x^' (t) = [(1)/(2) s e n (t)]^' = (1)/(2) c o s ( t )

y^' (t) = [(1)/(2) cos (t)]^' = - (1)/(2) s e n ( t )

z^' (t) = [(sqrt(3))/(2)]^' = 0

Juntando tudo, temos:

vec f^' (t) = ((1)/(2) cos (t) , - (1)/(2) s e n (t) , 0)

Agora que temos a nossa derivada, vamos aplicar o ponto P para achar nosso vetor tangente.

Xiii... mas como vamos saber o valor de t ?

É bem simples! Basta igualar as componentes de vec f (t) às componentes do nosso ponto P e resolver o sisteminha:

{[[(1)/(2),s,e,n,(t),=,0],[(1)/(2),cos (t),=,(1)/(2)],[(sqrt(3))/(2),=,(sqrt(3))/(2)]])

Pegando a nossa primeira igualdade,

(1)/(2) s e n (t) = 0 -> s e n (t) = 0 -> t = 0 ou s e n (t) = n pi , n in Ζ .

Os mesmos valores de t se aplicam para que (1)/(2) cos (t) = (1)/(2) . Ou seja, podemos escolher qualquer um deles. Vamos adotar t = 0 , aplicar na nossa derivada e correr pro abraço. ;)

vec f^' (0) = ((1)/(2) cos (0) , - (1)/(2) s e n (0) , 0) = ((1)/(2) , 0 , 0)

Resposta

Foi demonstrado nos passos acima que o hodógrafo de vec f ( t ) está sobre a esfera unitária com centro na origem e

vec f^' (t) = ((1)/(2) , 0 , 0)