Passo 1
A primeira coisa que devemos fazer é mostrar que o hodógrafo de está sobre a esfera unitária com centro na origem.
Antes de tudo, vamos interpretar isso aqui!
O que seria uma esfera unitária com centro na origem?
Faz sentido pensar que é uma esfera de raio e centro em .
Agora, vamos relembrar como é a equação geral da esfera:
Onde e são as coordenadas do centro da esfera.
No nosso caso:
Substituindo na equação geral da esfera, temos:
Separando as componentes do nosso :
Finalmente, vamos substituir as componentes de na equação geral da esfera com centro na origem raio .
Colocando em evidência e passando para o lado direito da equação:
Como a igualdade acima é verdadeira, podemos afirmar que o hodógrafo de realmente está sobre a esfera unitária de centro na origem!
Passo 2
Agora queremos determinar um vetor tangente a essa curva no ponto .
Bem, pessoal, sabemos que um vetor tangente a uma curva é, na verdade, a derivada da curva naquele ponto, certo?
Então, bora calcular essa derivada!
Pra facilitar, vamos calcular as derivadas das componentes , e e depois juntar tudo.
Juntando tudo, temos:
Agora que temos a nossa derivada, vamos aplicar o ponto para achar nosso vetor tangente.
Xiii... mas como vamos saber o valor de ?
É bem simples! Basta igualar as componentes de às componentes do nosso ponto e resolver o sisteminha:
Pegando a nossa primeira igualdade,
ou
Os mesmos valores de se aplicam para que . Ou seja, podemos escolher qualquer um deles. Vamos adotar , aplicar na nossa derivada e correr pro abraço. ;)
Resposta
Foi demonstrado nos passos acima que o hodógrafo de está sobre a esfera unitária com centro na origem e