r(t) = 2 * cos(t) * i + 5 * sen(t) * j + 3 * k; t = pi / 4

Passo 1

Vamos determinar nosso vetor velocidade de vec r ( t ) para qualquer instante de t . Para isso, vamos fazer a derivada primeira do nosso vetor:

x (t) = 2 cos (t) -> x^' (t) = - 2 s e n ( t )

y (t) = 5 s e n (t) -> y^' (t) = 5 c o s ( t )

z (t) = 3 -> z^' (t) = 0

vec v (t) = vec r^' (t) = - 2 s e n (t) vec i + 5 cos (t) vec j + 0 vec k AA t

Passo 2

Agora iremos determinar o vetor aceleração de vec r ( t ) para qualquer instante t .

É só fazer a derivada segunda do nosso vetor, ou seja, derivar vec v ( t ) .

x^' (t) = - 2 s e n (t) -> x^(' ') (t) = - 2 c o s ( t )

y^' (t) = 5 cos (t) -> y^(' ') (t) = - 5 s e n ( t )

z^' (t) = 0 -> z^(' ') (t) = 0

vec a (t) = vec r^(' ') (t) = - 2 cos (t) vec i - 5 s e n (t) vec j + 0 vec k AA t

Passo 3

Vamos encontrar o módulo de vec v ( t ) no instante t que foi dado.

Para isso, primeiro vamos substituir o valor de t no vetor vec v ( t ) e depois vamos calcular o módulo do vetor. Bem tranquilo, né?

vec v ((pi)/(4)) = - 2 s e n ((pi)/(4)) vec i + 5 cos ((pi)/(4)) vec j

vec v ((pi)/(4)) = - 2 * (sqrt(2))/(2) vec i + 5 * (sqrt(2))/(2) vec j

Logo,

vec v ((pi)/(4)) = - sqrt(2) vec i + (5 sqrt(2))/(2) vec j

E seu módulo será:

|vec v ((pi)/(4))| = sqrt((- sqrt(2))^2 + ((5 sqrt(2))/(2))^2) = sqrt(2 + (25)/(2)) = sqrt((29)/(2))

Passo 4

Repetindo o mesmo procedimento para encontrar o módulo de vec a ( t ) no instante t :

vec a ((pi)/(4)) = - 2 cos ((pi)/(4)) vec i - 5 s e n ((pi)/(4)) vec j

vec a ((pi)/(4)) = - 2 * (sqrt(2))/(2) vec i - (5 sqrt(2))/(2) vec j

Logo,

vec a ((pi)/(4)) = - sqrt(2) vec i - (5 sqrt(2))/(2) vec j

Calculando nosso módulo:

|vec a ((pi)/(4))| = sqrt((- sqrt(2))^2 + (- (5 sqrt(2))/(2))^2) = sqrt(2 + (25)/(2)) = sqrt((29)/(2))

Resposta

Para qualquer instante t , temos:

vec v (t) = - 2 s e n (t) vec i + 5 cos (t) vec j

vec a (t) = - 2 cos (t) vec i - 5 s e n (t) vec j

Para t = (pi)/(4) , o módulo é:

|vec v ((pi)/(4))| = sqrt((29)/(2))

|vec a ((pi)/(4))| = sqrt((29)/(2))