Responde Aí

Enunciado

(a) A cunhacilíndrica 1   ≤   r   ≤   3 ,   π / 6   ≤   θ   ≤   π / 2 ,   0   ≤   z   ≤   5 tem volume V   =   _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .

(b) A cunha esférica 1   ≤   ρ   ≤   3 ,   π / 6   ≤   θ   ≤   π / 2 ,   0   ≤   φ   ≤   π / 3   tem volume V   =   _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .

Passo 1

Bora iniciar mais uma questão, galera!

O cálculo da integral tripla acontece da mesma forma que a integral dupla. Vamos integrar de dentro para fora, ou seja, vamos começar da derivada interna e ir para a externa.

Para resolver a letra (a) vamos precisar lembrar que o cálculo do volume para coordenadas retangulares cilíndricas é dado por:

∭ G d V = ∭ G f ( r   c o s θ , r   s e n θ , z )   r d z d r d θ

E para resolver a letra (b) vamos precisar lembrar que o cálculo do volume para coordenadas esféricas é dado por:

∭ G d V = ∭ G f ( ρ , θ , φ )   ρ 2 s e n ∅   d ρ d ∅ d θ

Passo 2

Letra (a) cunha cilíndrica 1   ≤   r   ≤   3 ,   π / 6   ≤   θ   ≤   π / 2 ,   0   ≤   z   ≤   5

∭ G d V = ∫ 1 3 ∫   π / 6   π / 2 ∫ 0 5 r   d z d θ d r = ∫ 1 3 ∫   π / 6   π / 2 r z 0 5 d θ d r = ∫ 1 3 ∫   π / 6   π / 2 5 r d θ d r = ∫ 1 3 5 r θ π / 6 π / 2 d r = ∫ 1 3 5 r π 2 - 5 r π 6 d r = ∫ 1 3 5 π r 3 d r = 5 π r 2 6 1 3 = 5 π ( 3 ) 2 6 - 5 π 1 2 6 = 40 π 6 = 20 π 3

Passo 3

Letra (b) cunha cilíndrica 1   ≤   ρ   ≤   3 ,   π / 6   ≤   θ   ≤   π / 2 ,   0   ≤   ∅   ≤   π / 3  

∭ G d V = ∫ π / 6   π / 2 ∫ 0   π / 3 ∫ 1   3 ρ 2 s e n ∅   d ρ d ∅ d θ = ∫   π / 6 π / 2 ∫   0   π / 3 ρ 3 3 1 3 s e n ∅   d ∅ d θ = ∫   π / 6 π / 2 ∫   0   π / 3 26 3 s e n ∅ d ∅ d θ = ∫   π / 6 π / 2 - 26 3 c o s ∅ 0 π / 3 d θ = ∫   π / 6 π / 2 - 26 3 c o s c o s   π 3   + 26 3 c o s 0 d θ = ∫   π / 6 π / 2 13 3 d θ = 13 θ 3   π / 6 π / 2 = 13 3 * π 2 - 13 3 * π 6 = 13 π 9

Resposta

a )   20 3 π

b )   13 9 π