Custo Os custos com pedidos e transporte C (em centenas de dólares) de uma concessionária automobilística é modelado por

C = 10 * (1/x + x / (x + 3), x ≥ 1

em que x é o número de pedidos de automóveis feitos.

(a) Determine os intervalos nos quais C é crescente ou decrescente.

(b) Use uma ferramenta gráfica para traçar o gráfico da função de custo.

(c) Use o recurso trace para determinar os tamanhos dos pedidos para os quais o custo é $900. Supondo que a função da receita seja crescente para x >= 0 , qual o montante do pedido a ser feito? Explique o seu raciocínio.

Passo 1

  1. Bom pessoal, o primeiro passo para descobrir os intervalos nos quais C é crescente ou decrescente é calcular a derivada de C:
  2. d C d x = d d x 10 1 x + x x + 3 = 10 d d x 1 x + d d x x x + 3 = 10 - 1 x 2 + x + 3 - x ( x + 3 ) 2 = - 10 x 2 + 30 ( x + 3 ) 2  

    d C d x = - 10 ( x + 3 ) 2 + 30 x 2 x 2 ( x + 3 ) 2 = - 10 ( x 2 + 6 x + 9 + 30 x 2 x 2 ( x + 3 ) 2 = 20 x 2 - 60 x - 90 x 2 ( x + 3 ) 2  

    Agora, temos que descobrir os pontos em que a derivada se anula. Isso é o mesmo que resolver a equação

    20 x 2 - 60 x - 90 = 0 ⇒ 2 x 2 - 6 x - 9 = 0 ⇒ x = - ( - 6 ) ± ( - 6 ) 2 - 4 ⋅ 2 ⋅ ( - 9 ) 2 ⋅ 2 = 6 ± 36 + 72 4 = 6 ± 108 4

    x = 6 ± 3 3 ⋅ 2 2 4 = 6 ± 2 ⋅ 3 3 4 = 3 ± 3 3 2

    Com isso, vemos que x = 3 + 3 3 2 ≈ 4,1 é o número crítico da função. Excluímos o ponto x = 3 - 3 3 2 ≈ - 1,1 porque x ≥ 1 . Temos então os intervalos de teste ( 1 ,   4,1 )   e ( 4,1 , - ∞ ) . Como x = - 1,1 e x = 4,1 são raízes de 20 x 2 - 60 x - 90 = 0 , podemos escrever

    20 x 2 - 60 x - 90 = 0 ⇒ 10 ( 2 x 2 - 6 x - 9 ) = 0 ⇒ 10 ( x + 1,1 ) ( x - 4,1 ) = 0

    Assim, para sabermos o sinal da derivada, basta verificar o sinal de ( x + 1,1 ) e ( x - 4,1 ) :

  • ( 1 ,   4,1 )  
  • Nesse caso, temos 1 < x < 4,1 , de modo que

    1 < x < 4,1 ⇒ 0 < 2,2 < x + 1,1 < 5,2

    1 < x < 4,1 ⇒ - 3,1 < x - 4,1 < 0

    Temos um fator positivo e o outro negativo. Logo, a derivada é negativa e a função decrescente.

  • ( 4,1 , - ∞ )

Nesse intervalo, temos

x > 4,1 ⇒ x - 4,1 > 0

x > 4,1 ⇒ x + 1,1 > 5,2 > 0

Ambos os fatores são positivos. Daí, a derivada é positiva e a função é crescente.

Passo 2

  • Agora, vamos plotar o gráfico da função custo:
  • Assim, vemos que a função é decrescente em ( 1 ,   4,1 )   e crescente em ( 4,1 , - ∞ ) . Além disso, o ponto x = 4,1 é número crítico porque a função muda seu comportamento de decrescente para crescente justamente nesse ponto.

    Passo 3

    (c) Nesse item, ao invés de utilizar a ferramenta trace, vamos substituir C = $ 900 na equação C = 10 1 x + x x + 3 e tentar determinar x . Ficamos com

    $ 900 = 10 1 x + x x + 3 ⇒ $ 90 = 1 x + x x + 3 = x + 3 + x 2 x ( x + 3 ) ⇒ x 2 + x + 3 = 90 x ( x + 3 )

    ⇒ x 2 + x + 3 = 90 x 2 + 270 x ⇒ 89 x 2 + 269   x - 3 = 0  

    ⇒ x = - 269 ± 26 9 2 - 4 ⋅ 89 ⋅ ( - 3 ) 2 ⋅ 89 = - 269 ± 73429 178 = - 269 ± 270,98 178 ⇒ x = 1,98 178 = 0,01 ,   x = - 539,98 178 = - 3,03

    Como devemos ter x ≥ 0 , então a solução   x = - 3,03 está descartada e ficamos com x = 0,01 . Esse é um resultado um tanto quanto estranho, considerando que o número de pedidos deveria ser inteiro.

    Resposta

    1. A função é decrescente em ( 1 ,   4,1 )   e crescente em ( 4,1 , - ∞ )
    2. Veja o gráfico acima
    3. x = 0,01