Dada uma esfera de raio R calcular, em função de R, o raio r e a altura h do cone circular reto de volume máximo que pode ser inscrito nessa esfera.
Passo 1
Fala pessoal, blz?
O primeiro passo para questões envolvendo maximizar ou minimizar áreas ou volumes de duas figuras relacionadas sempre é achar o vínculo geométrico entre as duas figuras.
Nessa questão nós temos cone circular reto dentro de uma esfera. O bizu nesses casos não é ficar desenhando o problema em 3D ou perdendo muito tempo imaginando como que fica as relações em 3D. A forma mais rápida e fácil de enxergar os vínculos geométricos em questões assim é fazendo a vista lateral.
Como é a vista lateral de uma esfera? É um círculo de raio R.
Como é a vista lateral de um cone circular reto? É um triângulo isósceles. Como as geratrizes (parte inclinada) são iguais nos dois lados, o triângulo da vista lateral será isósceles. Além disso, a base do triângulo valerá 2 vezes o raio da base do cone.
Pronto, agora que já sabemos a vista lateral dos dois, como o cone está inscrito na esfera (cone dentro da esfera), é só imaginar o triângulo (vista lateral do cone) dentro do círculo (vista lateral da esfera).
Assim, podemos desenhar a vista lateral do problema, chamando o raio da esfera de R, e a altura e o raio do cone de h e r, temos:
A partir disso, podemos relacionar as variáveis do problema através do teorema de Pitágoras:
Passo 2
Agora que já temos o vínculo geométrico entre as figuras, temos que pensar em maximizar o volume do cone. Para isso, basta derivarmos a expressão do volume e igualar ele a zero para acharmos os pontos críticos da equação. Por fim, vamos testar pra ver se os pontos críticos são máximos ou mínimos.
Volume do cone:
Deixando em função de uma variável só (usando o vínculo geométrico):
Derivando em função de h:
Igualando a zero para acharmos o ponto crítico:
Passo 3
Agora que temos o h, basta substituímos na expressão que achamos pelo vínculo geométrico (Pitágoras) para acharmos o r:
Passo 4
Além disso, para a resposta ficar mais completa, precisamos garantir que o ponto crítico achado é um ponto máximo. Para isso usaremos o conceito da segunda derivada.
Relembrando,
Primeira derivada = 0 Pontos críticos candidatos a serem pontos de máximo ou de mínimo.
Segunda derivada > 0 Função convexa (concavidade pra cima) Ponto de mínimo.
Segunda derivada
Segunda derivada = 0 Ponto de inflexão Mudança de concavidade, não é nem máximo, nem mínimo.
Assim, fazendo a segunda derivada da função,
Sendo assim, provamos que o ponto encontrado realmente é o ponto onde a função volume é máxima.