Dada uma esfera de raio R calcular, em função de R, o raio r e a altura h do cone circular reto de volume máximo que pode ser inscrito nessa esfera.

Passo 1

Fala pessoal, blz?

O primeiro passo para questões envolvendo maximizar ou minimizar áreas ou volumes de duas figuras relacionadas sempre é achar o vínculo geométrico entre as duas figuras.

Nessa questão nós temos cone circular reto dentro de uma esfera. O bizu nesses casos não é ficar desenhando o problema em 3D ou perdendo muito tempo imaginando como que fica as relações em 3D. A forma mais rápida e fácil de enxergar os vínculos geométricos em questões assim é fazendo a vista lateral.

Como é a vista lateral de uma esfera? É um círculo de raio R.

Como é a vista lateral de um cone circular reto? É um triângulo isósceles. Como as geratrizes (parte inclinada) são iguais nos dois lados, o triângulo da vista lateral será isósceles. Além disso, a base do triângulo valerá 2 vezes o raio da base do cone.

Pronto, agora que já sabemos a vista lateral dos dois, como o cone está inscrito na esfera (cone dentro da esfera), é só imaginar o triângulo (vista lateral do cone) dentro do círculo (vista lateral da esfera).

Assim, podemos desenhar a vista lateral do problema, chamando o raio da esfera de R, e a altura e o raio do cone de h e r, temos:

A partir disso, podemos relacionar as variáveis do problema através do teorema de Pitágoras:

R 2 = r 2 + h - R 2 → R 2 = r 2 + h 2 - 2 R h + R 2 → r 2 = 2 R h - h 2

Passo 2

Agora que já temos o vínculo geométrico entre as figuras, temos que pensar em maximizar o volume do cone. Para isso, basta derivarmos a expressão do volume e igualar ele a zero para acharmos os pontos críticos da equação. Por fim, vamos testar pra ver se os pontos críticos são máximos ou mínimos.

Volume do cone:

V c o n e = 1 3 π r 2 h

Deixando em função de uma variável só (usando o vínculo geométrico):

V c o n e = 1 3 π 2 R h - h 2 h = 2 3 π R h 2 - 1 3 π h 3  

Derivando em função de h:

V c o n e = 2 3 π R h 2 - 1 3 π h 3 → d V d h = 4 3 π R h - π h 2

Igualando a zero para acharmos o ponto crítico:

d V d h = 4 3 π R h - π h 2 = 0 → 4 3 π R h = π h 2 → h = 4 3 R

Passo 3

Agora que temos o h, basta substituímos na expressão que achamos pelo vínculo geométrico (Pitágoras) para acharmos o r:

r 2 = 2 R h - h 2 → r 2 = 2 R 4 3 R - 4 3 R 2 → r 2 = 8 3 R 2 - 16 9 R 2 = R 2 . 24 - 16 9 = 8 9 R 2

r 2 = 8 9 R 2 → r = 2 2 3 R

Passo 4

Além disso, para a resposta ficar mais completa, precisamos garantir que o ponto crítico achado é um ponto máximo. Para isso usaremos o conceito da segunda derivada.

Relembrando,

Primeira derivada = 0 Pontos críticos candidatos a serem pontos de máximo ou de mínimo.

Segunda derivada > 0 Função convexa (concavidade pra cima) Ponto de mínimo.

Segunda derivada

Segunda derivada = 0 Ponto de inflexão Mudança de concavidade, não é nem máximo, nem mínimo.

Assim, fazendo a segunda derivada da função,

d V d h = 4 3 π R h - π h 2 → V ' ' = 4 3 π R -   2 π h = 4 3 π R - 2 π . 4 R 3 =   - 4 3 π R < 0

V ' ' = - 4 3 π R < 0 → P o n t o   d e   m á x i m o

Sendo assim, provamos que o ponto encontrado realmente é o ponto onde a função volume é máxima.

Resposta

h = 4 3 R   e   r = 2 2 3 R