Dada uma esfera de raio R, determinar o raio r e a altura h do cilindro circular reto de maior superfície lateral 2 * pi * r * h que pode ser inscrito na esfera.

Passo 1

Desenhando a vista lateral do cilindro inscrito na esfera, temos:

Assim, podemos escrever o seguinte vínculo geométrico:

2 R 2 = h 2 + 2 r 2 → 2 r =   4 R 2 - h 2

Além disso, temos que a superfície lateral do cilindro é dada por:

S L = 2 π r h → S L = π h   4 R 2 - h 2

Passo 2

Como queremos maximizar a superfície lateral, podemos derivar SL em função de h e igualar a zero para acharmos os pontos críticos dessa função. O problema é análogo para h ou para r.

S L = π h   4 R 2 - h 2

Derivando,

S L ' = π . 4 R 2 - h 2 + h . 1 2 .   4 R 2 - h 2 - 1 2 .   - 2 h →  

S L ' = π 4 R 2 - h 2 - h 2 4 R 2 - h 2   = π 4 R 2 - h 2 - h 2 4 R 2 - h 2 = π 4 R 2 - 2 h 2 4 R 2 - h 2

Igualando a zero,

S L ' = π 4 R 2 - 2 h 2 4 R 2 - h 2 = 0 →   4 R 2 - 2 h 2 = 0 →   2 R 2 = h 2

Como R e h são positivos,

2 R 2 = h 2 → h = R 2

Passo 3

Utilizando a relação do vínculo geométrico novamente, agora para obter r em função de R, temos:

2 r =   4 R 2 - 2 R 2 =   2 R 2 → 2 r = R 2 → r = R 2 2

Resposta

h = R 2

e

r = R 2 2