Dada a fórmula

1 + x + x^2 + … + x^n = (x^(n+1) - 1) / (x - 1)

(válida para x ≠ 1 ), determinar, por derivação, fórmulas para as seguintes somas:

a) 1 + 2x + 3*x^2 + ... + n*x^(n-1)

b) 1/2*x + 2^2*x^2 + 3^2*x^3 + … + n^2*x^n

Passo 1

Me ajuda nessa questão? A gente vai resolver no jeitinho, percebeu que a questão já nos induziu a usar a fórmula e aplicar derivação?

a) Então vamos ver no que dá se derivarmos os dois lados da equação

d d x 1 + x + x 2 + … + x n = d d x x n + 1 - 1 x - 1

Teremos:

1       1 + 2 x + … + n x n - 1 = x - 1 d d x x n + 1 - 1 - x n + 1 - 1 d d x x - 1 x - 1 2       ( 2 )

Passo 2

Pera aí, percebeu que o lado esquerdo (1) da equação é justamente a soma que estamos buscando a fórmula? Então, basta desenvolvermos a igualdade, assim:

x - 1 n + 1 x n - ( 1 ) ( x n + 1 - 1 ) x - 1 2 = x - 1 x n + 1 + x n - x n + 1 + 1 x - 1 2 = n x n + 1 - n x n + 1 x - 1 2

Desenvolvendo a equação, temos:

x 1 + 2 x + … + n x n - 1 = x + 2 x 2 + … + n x n = n x n + 2 - n + 1 x n + 1 + x x - 1 2

E prontinho, achamos uma fórmula!!

Passo 3

b) Então vamos pensar, qual equação quando derivada gera as somas que estamos procurando?

1 2 x + 2 2 x 2 + 3 2 x 3 + … + n 2 x n = d d x ( x + 2 x 2 + … + n x n )

Ou seja,

d d x x + 2 x 2 + … + n x n = ( n n + 2 x n + 1 - n + 1 2 x n x - 1 2 - 2 ( x - 1 ) ( n x n + 2   - n + 1 x n + 1 + x ) x - 1 4

Passo 4

Pera aí, tem um detalhezinho, a questão diz para considerarmos x ≠ 1 , somando um expoente, temos:

x + 2 2 x 2 + … + n 2 x n = ( n n + 2 x n + 2 - n + 1 2 x n + 1 + x ) x - 1   - 2 ( n x n + 3   - n + 1 x n + 2 + x 2 ) x - 1 3 = n 2 x n + 3 + - 2 n 2 - 2 n + 1 x n + 2 + n + 1 2 x n + 1 - x 2 - x x - 1 3

E prontinho, achamos uma fórmula!!

Resposta

n x n + 2 - n + 1 x n + 1 + x x - 1 2

n 2 x n + 3 + - 2 n 2 - 2 n + 1 x n + 2 + n + 1 2 x n + 1 - x 2 - x x - 1 3