Dada uma função de valores reais e contínua no intervalo fechado [0,1], suponha-se que para que todo o x em [0,1]. Provar que existe pelo menos um ponto c em [0,1] para o qual tal ponto chama-se um ponto fixo em . Tendo o resultado desse exercício um caso particular do teorema de ponto fixo de brouwer (sugestão: aplicar teorema de bolzano a
Passo 1
Falaaaa meu brother, tudo blz ?
Seguindo a sugestão dada vamos aplicar o teorema de bolzano em . Assim é contínuo em (0,1)
Desde que , para cada , considere , , de modo que da mesma forma que
Passo 2
Se ou , serão realizadas,
Caso contrário se,
Então por teorema de bolzano, pelo menos um c tal que
Resposta