Dada uma função de valores reais e contínua no intervalo fechado [0,1], suponha-se que 0 ≤ f(x) ≤ 1 para que todo o x em [0,1]. Provar que existe pelo menos um ponto c em [0,1] para o qual f(c) = c tal ponto chama-se um ponto fixo em f . Tendo o resultado desse exercício um caso particular do teorema de ponto fixo de brouwer (sugestão: aplicar teorema de bolzano a g(x) = f(x) - x

Passo 1

Falaaaa meu brother, tudo blz ?

Seguindo a sugestão dada vamos aplicar o teorema de bolzano em g x = f x - x . Assim g ( x ) é contínuo em (0,1)

Desde que 0 ≤ f x ≤ 1 , para cada x ∈ [ 0,1 ] , considere , g 1 = f 1 - 1 , de modo que - 1 ≤ g 1 ≤ 0 da mesma forma que 0 ≤ g 0 ≤ 1

Passo 2

Se g 1 = 0 ou g 0 = 0 , serão realizadas,

g 0 = f 0 - 0 = 0     ,     f ( 0 ) = 0

g 1 = f 1 - 1 = 0       ,     f 1 = 1

Caso contrário se,

- 1 ≤ g 1 ≤ 0

0 < g 0 ≤ 1

Então por teorema de bolzano, pelo menos um c tal que

g c = 0

g c = f c - c = 0 ,         f c = c

Resposta

g c = f c - c = 0 ,         f c = c