Dadas duas retas no espaço, ou elas são paralelas, ou se cruzam ou são reversas (imagine, por exemplo, a trajetória de voo de dois aviões no céu). Os Exercícios 61 e 62 fornecem três retas cada um. Em cada exercício, determine se as retas, tomadas duas a duas, são paralelas, se cruzam ou são reversas. No caso de se cruzarem, encontre o ponto de interseção.

L1: x = 3 + 2t, y = -1 + 4t, z = 2 - t; -∞ < t < ∞

L2: x = 1 + 4s, y = 1 + 2s, z = -3 + 4s; -∞ < t < ∞

L3: x = 3 + 2r, y = 2 + r, z = -2 + 2r; -∞ < t < ∞

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de vetores e geometria espacial.

Vamos agora resolver os exercícios da seção 5 sobre retas e planos no espaço.

A partir do enunciado faremos para L1 e L2:

x = 3 + 2 t = 1 + 4 s   e   y = - 1 + 4 t = 1 + 2 s

= > 2 t - 4 s = - 2 4 t - 2 s = 2 = > 2 t - 4 s = - 2 2 t - s = 1

= > 3 s = 3 = > s = 1 = > 2 t = 2 = > t = 1

Para confirmarmos substituímos t e s em z para L1 e L2:

L 1 : z = 2 - 1 = 1   e   L 2 : z = - 3 + 4 ∙ 1 = 1

Logo, o ponto de intersecção entre L1 e L2 é:

3 + 2 ∙ 1   o u   1 + 4 ∙ 1 ,   - 1 + 4 ∙ 1   o u   1 + 2 ∙ 1 ,   1 = 5 ,   3 ,   1

De forma similar, teremos para L2 e L3:

A   d i r e ç ã o   d e   L 2   é :   4 i + 2 j + 4 k 4 2 + 2 2 + 4 2 = 1 6 4 i + 2 j + 4 k = 1 3 2 i + j + 2 k

E:

A   d i r e ç ã o   d e   L 3   é :   2 i + j + 2 k 2 2 + 1 2 + 2 2 = 1 3 2 i + j + 2 k

Logo, L2 e L3 são paralelas.

Passo 2

Para L1 e L3 fazemos:

x = 3 + 2 t = 3 + 2 r   e   y = - 1 + 4 t = 2 + r

= > 2 t - 2 r = 0 4 t - r = 3 = > t - r = 0 4 t - r = 3

= > 3 t = 3 = > t = 1 = > r = 1

Para confirmarmos substituímos t e s em z para L1 e L2:

L 1 : z = 2 - 1 = 1   e   L 3 : z = - 2 + 2 ∙ 1 = 0

Logo, essas duas retas não possuem ponto de intersecção.

Verificando se são paralelas, temos que:

A   d i r e ç ã o   d e   L 1   é :   2 i + 4 j - k 2 2 + 4 2 + - 1 2 = 1 21 2 i + 4 j - k

E:

A   d i r e ç ã o   d e   L 3   é :   2 i + j + 2 k 2 2 + 1 2 + 2 2 = 1 3 2 i + j + 2 k

Como as direções calculadas indicam que L1 e L3 não são paralelas, e como não possuem ponto de intersecção, essas retas são reversas.

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

Ver passo a passo.