Dadas duas retas no espaço, ou elas são paralelas, ou se cruzam ou são reversas (imagine, por exemplo, a trajetória de voo de dois aviões no céu). Os Exercícios 61 e 62 fornecem três retas cada um. Em cada exercício, determine se as retas, tomadas duas a duas, são paralelas, se cruzam ou são reversas. No caso de se cruzarem, encontre o ponto de interseção.

L1: x = 1 + 2t, y = -1 - t, z = 3t; -∞ < t < ∞

L2: x = 2 - s, y = 3s, z = 1 + s; -∞ < t < ∞

L3: x = 5 + 2r, y = 1 - r, z = 8 + 3r; -∞ < t < ∞

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de vetores e geometria espacial.

Vamos agora resolver os exercícios da seção 5 sobre retas e planos no espaço.

A partir do enunciado faremos para L1 e L2:

x = 1 + 2 t = 2 - s   e   y = - 1 - t = 3 s

= > 2 t + s = 1 t + 3 s = - 1 = > 2 t + s = 1 2 t + 6 s = - 2

= > 5 s = - 3 = > s = - 3 5 = > t = - 1 + 9 5 = 4 5

Para confirmarmos substituímos t e s em z para L1 e L2:

L 1 : z = 3 4 5 = 12 5   e   L 2 : z = 1 - 3 5 = 2 5

Logo, essas duas retas não possuem ponto de intersecção.

Verificando se são paralelas, temos que:

A   d i r e ç ã o   d e   L 1   é :   2 i - j + 3 k 2 2 + - 1 2 + 3 2 = 1 14 2 i - j + 3 k

E:

A   d i r e ç ã o   d e   L 2   é :   - i + 3 j + k - 1 2 + 3 2 + 1 2 = 1 11 - i + 3 j + k

Como as direções calculadas indicam que L1 e L2 não são paralelas, e como não possuem ponto de intersecção, essas retas são reversas.

Passo 2

De forma similar, teremos para L2 e L3:

x = 2 - s = 5 + 2 r   e   y = 3 s = 1 - r

= > s + 2 r = - 3 3 s + r = 1 = > 3 s + 6 r = - 9 3 s + r = 1

= > 5 r = - 10 = > r = - 2 = > 3 s = 1 + 2 = > s = 1

Para confirmarmos substituímos s e r em z para L2 e L3:

L 2 : z = 1 + 1 = 2   e   L 3 : z = 8 + 3 ∙ - 2 = 2

O ponto de intersecção entre L2 e L3 é:

2 - 1   o u   5 + 2 - 2 ,   3 ∙ 1   o u   1 - - 2 ,   2 = 1 ,   3 ,   2

Para L1 e L3 fazemos:

A   d i r e ç ã o   d e   L 1   é :   2 i - j + 3 k 2 2 + ( - 1 ) 2 + 3 2 = 1 14 2 i - j + 3 k

E:

A   d i r e ç ã o   d e   L 3   é :   2 i - j + 3 k 2 2 + ( - 1 ) 2 + 3 2 = 1 14 2 i - j + 3 k

Logo, L2 e L3 são paralelas.

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

Ver passo a passo.