Dadas as sequências ( x_n ) e ( y_n ) , defina ( z_n ) pondo z_2 n - 1 = x_n e z_2 n = y_n . s e lim x_n = lim y_n = a , p r o v e q u e lim z_n = a

Passo 1

Fala aí pessoal tudo blz?

Nesse questão dadas as sequências ( x_n ) e ( y_n ) , defina ( z_n ) pondo z_2 n - 1 = x_n e z_2 n = y_n . s e lim x_n = lim y_n = a , p r o v e q u e lim z_n = a

Pode ficar calminho que você vai entender legal, só confia.

Passo 2

Sabendo que,

(x_n) e ( y_n ) , para

z_2 n - 1 = x_n e z_2 n = y_n

Sendo,

lim x_n = lim y_n = a e lim z_n = a

Dado,

ϵ > 0 , existem n_1 , n_2 in N tais que n > n_1 -> |x_n - a| < ϵ e n > n_2 -> |y_n - a| < ϵ

Tomando n_0 = max { 2 n_1 , 2 n_2 - 1 }

Se n = 2 k , então

n > n_0 - 2 k > 2 n_1 -> k > n_1 -> |z_n - a| = |x_k - a| < ϵ

Logo,

lim z_n = a

Resposta

lim z_n = a