Dado um cone circular reto de raio R e altura h, determinar o raio e altura do cilindro circular reto de maior área lateral que pode inscrever-se no cone.

Passo 1

Fala pessoal, blz? O primeiro passo para questões envolvendo maximizar ou minimizar áreas e volumes de duas figuras relacionadas sempre é achar o vínculo geométrico entre as duas figuras.

Nessa questão nós temos um cilindro circular reto dentro de um cone circular reto. Difícil de imaginar? Com certeza, mas o bizu nessas questões não é ficar desenhando o problema em 3D ou perdendo muito tempo imaginando como fica as relações em 3D. A forma mais rápida e fácil de enxergar os vínculos geométricos em questões assim é fazendo a vista lateral.

Como é a vista lateral de um cilindro circular reto? É um retângulo. Com a altura sendo o comprimento desse retângulo e a largura do retângulo sendo 2 vezes o raio da base.

Como é a vista lateral de um cone circular reto? É um triângulo isósceles. Como as geratrizes (parte inclinada) são iguais nos dois lados, o triângulo da vista lateral será isósceles. Além disso, a base do triângulo valerá 2 vezes o raio da base do cone.

Pronto, agora que já sabemos a vista lateral dos dois, como o cilindro está inscrito no cone (cilindro dentro do cone), é só imaginar o retângulo (vista lateral do cilindro) dentro do triângulo (vista lateral do cone).

Assim, podemos desenhar a vista lateral do problema, chamando a altura e o raio do cone de H e R, e a altura e o raio do cilindro de h e r, temos:

A partir disso, podemos achar o vínculo geométrico da questão enxergando que os triângulos ABC e ADE são triângulos semelhantes, assim:

H - h r = H R → H . R - R . h H = r

Passo 2

Agora que já temos o vínculo geométrico entre as figuras, temos que pensar em maximizar a área lateral do cilindro. Para isso, basta derivarmos a expressão da área lateral e igualar ela a zero para achar os pontos críticos da equação. Por fim, vamos testar pra ver se os pontos críticos são máximos ou mínimos.

Área lateral de um cilindro:

A L = 2 r . h

Deixando em função de apenas uma variável (utilizando o vínculo geométrico):

A L = 2 r . h = 2 .   H . R - R . h H h = 2 R h - 2 R h 2 H

Derivando em função de h:

A L ' = 2 R - 4 R h H

Igualando a zero para acharmos o ponto máximo:

A L ' = 2 R - 4 R h H = 0 → 2 R = 4 R h H → h = H 2  

Passo 3

Tendo o h para que a área seja máxima, basta jogarmos no vínculo geométrico para obtermos o r.

H . R - R . h H = r → r = H . R - R . H 2 H = R - R 2 = R 2  

r = R 2

Passo 4

Além disso, para a resposta ficar mais completa, precisamos garantir que o ponto crítico achado é um ponto de máximo. Para isso usaremos o conceito da segunda derivada.

Relembrando,

Primeira derivada = 0 🡪 Pontos críticos candidatos a serem pontos de máximo ou de mínimo.

Segunda derivada > 0 🡪 Função convexa (concavidade pra cima) 🡪 Ponto de mínimo.

Segunda derivada

Segunda derivada = 0 🡪 Ponto de inflexão 🡪 Mudança de concavidade, não é nem máximo, nem mínimo.

Assim, fazendo a segunda derivada da função,

A L ' = 2 R - 4 R h H →   A L ' ' = 0 - 4 R H < 0 →   P o n t o   d e   m á x i m o

Sendo assim, provamos que o ponto encontrado realmente é o ponto onde a função Área lateral é máxima.

Resposta

h = H 2   e   r = R 2