Se e^(rt) é dado pela equação (13), mostre que d / dt e^(rt) = e^(rt) para qualquer número complexo r

Passo 1

Oi galerinha! Tudo bem?

Então de começar vamos relembrar a equação 13

e λ + i μ t =   e λ t (   c o s μ t + i s e n μ t )

Tranquilo?

Bora lá começar então!

Usando a regra da cadeia para as funções complexas onde ( r =   i ) nós teremos :

d d t e i t = i e i t

d d t e r t = d c o s t + i s e n t   d t

d d t e r t = d c o s t d t + i d s e n t d t

d d t e r t = - i s e n t +     i c o s   t  

d d t e i t = i (   c o s t + i s e n t )  

Aplicando a definição de números complexos e a . e i = e a (   c o s b + i s e n b ) = e a + b i

Observamos que y ' t =   d d t e i t = r e r t

Agora uma pausa para lembrar da propriedade e x . e y =   e x + y , a mesma também é valida para números complexos tranquilo!

Então vamos aplicá-la na equação (13)

e i t . e i s = ( cos ⁡ t + i s e n t ) ( cos ⁡ s + i s e n   s ) = cos ⁡ t + s + i s e n   t + =   e i ( t + s )

Aplicando a definição de números complexos e a . e i = e a (   c o s b + i s e n b ) = e a + b i

Observamos que y ' t =   d d t e i t = r e r t

Prontinho!

Te vejo na próxima questão!

Resposta

y ' t =   d d t e i t = r e r t