Enunciado

Dado que f   ( x ,   y )   =   0 , use o Teorema 13.5.3 para expressar d 2 y / d x 2   em termos das derivadas parciais de f .

Passo 1

O Teorema 13.5.3 diz que: “Se a equação f   ( x ,   y )   =   c definir y implicitamente como uma função diferenciável de x , e se ∂ f / ∂ y ≠ 0, então”

d y d x = - ∂ f / ∂ x ∂ f / ∂ y

Essa questões envolve manipulação dos termos, então vamos por etapa.

Passo 2

Vamos mudar a forma que a derivando do Teorema 13.5.3 é escrita.

d y d x = - f x f y

Temos que:

f x + f y d y d x = 0

Agora, vamos derivar pela segunda vez:

f x x + f y x d y d x + f y x d y d x + f y d 2 y d x 2 = 0

f y d 2 y d x 2 = - f x x - 2 f y x d y d x

d 2 y d x 2 = - f x x - 2 f y x d y d x f y

Substituindo d y / d x , temos:

d 2 y d x 2 = - f x x - 2 f y x - f x f y f y = - f x x f y + 2 f x f y x f y 2

Bem tranquilinha, né?

Resposta

d 2 y d x 2 = - f x x f y + 2 f x f y x f y 2

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