Dado S > 0, provar que entre todos os pares de números positivos x e y com x + y = S, a soma x2+y2 é mínima quando x = y.
Passo 1
Como queremos minimizar a soma x2+y2, podemos deixa-la em função de apenas uma variável (tanto faz ser em x ou y), depois derivar e igualar a zero a fim de achar o ponto de mínimo da função. Dessa forma,
Como,
Logo, deixando a função em relação a apenas uma variável,
Passo 2
Feito isso, basta derivarmos em relação a x a função e depois igualar a zero, assim, obteremos a soma mínima. Ou seja,
Como, S = x + y,
Passo 3
Além disso, para a resposta ficar mais completa, precisamos garantir que o ponto crítico achado é um ponto de mínimo. Para isso usaremos o conceito da segunda derivada.
Relembrando,
Primeira derivada = 0 Pontos críticos candidatos a serem pontos de máximo ou de mínimo.
Segunda derivada > 0 Função convexa (concavidade pra cima) Ponto de mínimo.
Segunda derivada
Segunda derivada = 0 Ponto de inflexão Mudança de concavidade, não é nem máximo, nem mínimo.
Assim, fazendo a segunda derivada da função,
Logo, é um ponto de mínimo.
Resposta
Logo, para que x2 + y2 seja mínimo x = y.