Dado S > 0, provar que entre todos os pares de números positivos x e y com x + y = S, a soma x2+y2 é mínima quando x = y.

Passo 1

Como queremos minimizar a soma x2+y2, podemos deixa-la em função de apenas uma variável (tanto faz ser em x ou y), depois derivar e igualar a zero a fim de achar o ponto de mínimo da função. Dessa forma,

Como,

x + y = S → y = S - x

Logo, deixando a função em relação a apenas uma variável,

S o m a = x 2 + y 2 = x 2 + S - x 2 → f x = x 2 + ( x 2 - 2 S x + S 2 ) = 2 x 2 - 2 S x + S 2

f x = 2 x 2 - 2 . S x + S 2

Passo 2

Feito isso, basta derivarmos em relação a x a função e depois igualar a zero, assim, obteremos a soma mínima. Ou seja,

f x = 2 x 2 - 2 . S x + S 2 → f ' x = 2.2 x - 2 S + 0 → f ' x = 4 x - 2 S = 0 →    

→ 4 x = 2 S → x = S 2

Como, S = x + y,

x = S 2 → x = x + y 2 → 2 x = x + y → y = x

Passo 3

Além disso, para a resposta ficar mais completa, precisamos garantir que o ponto crítico achado é um ponto de mínimo. Para isso usaremos o conceito da segunda derivada.

Relembrando,

Primeira derivada = 0 Pontos críticos candidatos a serem pontos de máximo ou de mínimo.

Segunda derivada > 0 Função convexa (concavidade pra cima) Ponto de mínimo.

Segunda derivada

Segunda derivada = 0 Ponto de inflexão Mudança de concavidade, não é nem máximo, nem mínimo.

Assim, fazendo a segunda derivada da função,

f x = 2 x 2 - 2 . S x + S 2 → f ' x = 4 x - 2 S = 0 → f ' ' x =   4 > 0    

Logo, é um ponto de mínimo.

Resposta

Logo, para que x2 + y2 seja mínimo x = y.