Dado R > 0, provar que entre todos os pares de números positivos x e y com x2+y2 = R, a soma x + y é máxima quando x = y.

Passo 1

Como queremos maximizar a soma x + y, podemos deixa-la em função de apenas uma variável (tanto faz ser em x ou y), depois derivar e igualar a zero a fim de achar o ponto de mínimo da função. Dessa forma,

Como,

x 2 + y 2 = R → y = R - x 2

Logo, deixando a função em relação a apenas uma variável,

S o m a = x + y = x + R - x 2 →

f x = x + R - x 2

Passo 2

Feito isso, basta derivarmos em relação a x a função e depois igualar a zero, assim, obteremos a soma máxima. Ou seja,

f x = x + R - x 2 → f x = x + R - x 2 1 2   → f ' x = 1 + 1 2 .     R - x 2 1 2 - 1 . - x 2 ' →

f ' x = 1 + 1 2 .     R - x 2 - 1 2 . - 2 x → f ' x = 1 - x   R - x 2 - 1 2 = 0 →  

1 = x   R - x 2 →   x =   R - x 2 → x 2 =   R - x 2 → 2 x 2 = R

Como, R = x2+y2 , temos:

2 x 2 = x 2 + y 2 → x 2 = y 2

Pelo enunciado, x e y são positivos, então,

x 2 = y 2 → x = y

Passo 3

Além disso, para a resposta ficar mais completa, precisamos garantir que o ponto crítico achado é um ponto de máximo. Para isso usaremos o conceito da segunda derivada.

Relembrando,

Primeira derivada = 0 Pontos críticos candidatos a serem pontos de máximo ou de mínimo.

Segunda derivada > 0 Função convexa (concavidade pra cima) Ponto de mínimo.

Segunda derivada

Segunda derivada = 0 Ponto de inflexão Mudança de concavidade, não é nem máximo, nem mínimo.

Assim, fazendo a segunda derivada da função,

f x = x + R - x 2 → f ' x = 1 - x   R - x 2 → f ' ' x = -   R R - x 2 . R - x 2 →

f ' ' x = -   R y 2 . R - x 2 =   - k   ; k > 0 → f ' ' x < 0

Como R > 0, y2 > 0 e Raiz quadrada de R - x2 > 0 k > 0 e consequentemente f’’(x)

Resposta

Logo, para que a soma x + y seja máxima x = y.