Dado R > 0, provar que entre todos os pares de números positivos x e y com x2+y2 = R, a soma x + y é máxima quando x = y.
Passo 1
Como queremos maximizar a soma x + y, podemos deixa-la em função de apenas uma variável (tanto faz ser em x ou y), depois derivar e igualar a zero a fim de achar o ponto de mínimo da função. Dessa forma,
Como,
Logo, deixando a função em relação a apenas uma variável,
Passo 2
Feito isso, basta derivarmos em relação a x a função e depois igualar a zero, assim, obteremos a soma máxima. Ou seja,
Como, R = x2+y2 , temos:
Pelo enunciado, x e y são positivos, então,
Passo 3
Além disso, para a resposta ficar mais completa, precisamos garantir que o ponto crítico achado é um ponto de máximo. Para isso usaremos o conceito da segunda derivada.
Relembrando,
Primeira derivada = 0 Pontos críticos candidatos a serem pontos de máximo ou de mínimo.
Segunda derivada > 0 Função convexa (concavidade pra cima) Ponto de mínimo.
Segunda derivada
Segunda derivada = 0 Ponto de inflexão Mudança de concavidade, não é nem máximo, nem mínimo.
Assim, fazendo a segunda derivada da função,
Como R > 0, y2 > 0 e Raiz quadrada de R - x2 > 0 k > 0 e consequentemente f’’(x)
Resposta
Logo, para que a soma x + y seja máxima x = y.