Dados a, b ∈ R+ com a^2 < 2 < b^2 tome x, y ∈ R+ tais que x < 1 , x < (2 - a^2) / (2a + 1) e y < (b^2 - 2) / (2b) . Prove que ((a + x)^2 < 2 < (b - y)^2) e (b - y > 0) Em seguida, considero o conjunto limitado X = { a ∈ R+ ; a² < 2 } e conclua que número real c = sup(X) cumpre c^2 = 2.

Passo 1

Fala aí pessoal tudo blz?

Nessa questão dado a , b ∈   R + com a 2 < 2 < b 2 , tome x , y ∈ R + tais que x < 1 , x < ( 2 - a 2 ) ( 2 a + 1 ) e y < ( b 2 - 2 ) 2 b . Prove que a + x 2 < 2 < b - y 2     e     b - y > 0 . Em seguida, considero o conjunto limitado X = a ∈ R + ; a 2 < 2   e conclua que número real c = sup ⁡ X   cumpre c 2 = 2 .

Pode ficar calminho que você vai entender legal, só confia.

Passo 2

Sabendo que,

x < ( 2 - a 2 ) ( 2 a + 1 ) e y < ( b 2 - 2 ) 2 b

Para provarmos que,

a + x 2 < 2 < b - y 2

Ficando,

x < ( 2 - a 2 ) ( 2 a + 1 ) , resultando em

a 2 + 2 a x + x < 2 ,   como x < 1 tem-se

x 2 < x

Logo,

a + x 2 = a 2 + 2 a x + x 2 < a 2 + 2 a x + x < 2

x = { a > 0 ; a 2 < 2 }

y = { b > 0 ; b 2 > 2 }

c 2 = 2

Espero ter ajudado, e até a próxima.

Resposta

x = { a > 0 ; a 2 < 2 }

y = { b > 0 ; b 2 > 2 }

c 2 = 2