Dados m , n ∈   N com n > m , prove que ou n é múltiplo de m ou existem q , r ∈ N tais que n = m q + r   e   r < m . Prove que q   e   r são únicos com esta propriedade.

Passo 1

Fala aí pessoal tudo blz?

Nessa questão pede que m , n ∈   N com n > m , prove que ou n é múltiplo de m ou existem q , r ∈ N tais que n = m q + r   e   r < m . Prove que q   e   r são únicos com esta propriedade.

Pode ficar calminho que você vai entender legal, só confia.

Passo 2

Sabendo que,

m   e   n naturais com n > m então existe q ∈   N tal que q

q m ≤ n < q + 1 m

Seja A = { x , m | x m > n , x ∈ N } . Tal que é não vazio pois n + 1 m > n , pelo P B O ele possui um menor elemento. Sabemos também que m não pertence a esse conjunto então x > 1 , x sempre é sucessor de algum número natural, então podemos tomar o elemento mínimo de 4 da forma a + 1 m . Tem-se q + 1 > q

Logo,

q + 1 m > q m ,

Assim q m não pode pertencer ao conjunto A, pois iria contrair o P B O , logo por tricotomia vale,

q m ≤ n e   ficando,

q m ≤ n < q + 1 m

Espero ter ajudado, e até a próxima.

Resposta

q m ≤ n < q + 1 m