Se define f : R n → R   por:

f x = e - x - 2 x ≠ 0 0 x = 0

Probar que f es uma funcion C ∞ , y f i 0 = 0 para todo i. Indicacion: el limite f ' 0 = lim h → 0 ⁡ e - h - 2   h = lim h → 0 ⁡ 1 h e h - 2 se puede calcular por la regra de l’hôpital. Se puede calcular facilmente f ' ( x ) para x ≠ 0 y f ' 0 = lim h → 0 ⁡ f ' ( h )   puede hallarse por la regla de l’Hôpital.

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Antes, vamos deixar claro que C ∞ significa que a função é de uma classe de derivadas infinitas. Assim, façamos a derivada de f x = e - x - 2

Bora lá?!

Passo 2

Obrigado por vir.

f ' x = 2 x - 3 e - x - 2

Veja que a função e - x - 2 se repete.

Façamos a segunda derivada:

f ' ' x = e - x - 2 x - 6 4 - 6 x 2

E a mesma função se repete. Isso acontece porque a derivada de funções do tipo e x se repetem infinitamente, provando assim que e - x - 2 ∈ C ∞

Para b)

Agora apliquemos:

f ' x = 2 0 - 3 e - 0 - 2 = 0

E:

f ' ' 0 = e - 0 - 2 0 - 6 4 - 6 0 2 = 0

E assim se segue para todo f i

Passo 3

Agora se quer a prova matemática que toda toda derivada da função e - x - 2 no ponto 0 é nula, cola pra cá.

f k + 1 x = f k x '

p 3 k ' x - 1 * - x - 2 * e - x - 2 + p 3 k x - 1 * 2 x - 3 *   e - x - 2

e - x - 2 p 3 k ' x - 1 * - x - 2 + p 3 k x - 1 * 2 x - 3

q 3 k + 1 x - 1 + q 3 k + 3 x - 1 e - x - 2

p 3 k + 1 x - 1 * e - x - 2

Onde q 3 k + 3 e q 3 k + 1 são polinômios.

E todas aplicadas em 0 teremos 0.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)