Se define f : R 2 → R por:

f x , y = x y x 2 - y 2 x 2 + y 2   x , y ≠ 0 0 x , y = 0

  1. Probar que D 2 f x , 0 = x para todo x e D 1 f 0 , y = - y para todo y.
  2. Probar que D 1,2 f 0,0 ≠ D 2,1 f 0,0 .

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Derivemos f x , y = x y x 2 - y 2 x 2 + y 2   com relação à:

X:

D x f x , y = x x 4 - y 4 - 4 x 2 y 2 x 2 + y 2 2

E Y:

D y f x , y = - y y 4 - x 4 - 4 x 2 y 2 x 2 + y 2 2

E como pedido, aplicando:

D x f x , 0 = x

E:

D y f 0 , y = - 1

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Para b)

Primeiro faremos para D 1,2 f 0,0 :

D 2 D 1 f 0 , y 0 = D 2 - y = - 1

Como dito no passo 1

Passo 3

Para D 2,1 ( f 0,0 :

D 1 D x f x , 0 0 = D x x = 1

Assim, provamos que:

D 1,2 f 0,0 ≠ D 2,1 f 0,0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)