Definida a função f do modo seguinte:

{[[f (x) = (3 - x^2)/(2) , s e x <= 1],[f (x) = (1)/(x) , s e x >= 1]])

Passo 1

Vamos traçar o gráfico de f para 0 <= x <= 2

Basicamente iremos unir o gráfico de (3 - x^2)/(2) , 0 <= x <= 1 com (1)/(x) , 1 <= x <= 2

Para construir o gráfico de (3 - x^2)/(2) basta pegar o gráfico da parábola 3 - x^2 e “achatar verticalmente”, pois, agora a imagem da função será a metade da imagem de 3 - x^2

Gráfico de (3 - x^2)/(2) :

Gráfico de (1)/(x) focado no intervalo que queremos:

Agora vamos unir os gráficos tirando a parte que não nos interessa:

Resposta Final:

Passo 2

O teorema de Lagrange nos afirma que:

Dada uma função f , contínua em [ a , b ] e diferenciável em (a , b) existe um ponto c em (a , b) tal que:

f^' (c) = (f (b) - f ( a ))/(b - a)

Pelo gráfico fica claro que f é contínua em [0,2] e diferenciável em ( 0,2 )

Basta acharmos os valores em que vale o teorema, agora:

f (2) - f (0) = 2 f^' (c) -> (1)/(2) - (3)/(2) = 2 f^' (c)

D a q u i , t i r a m o s q u e f^' (c) = - (1)/(2)

Passo 3

Agora iremos checar se de fato existe c em (0 , 2) t a l q u e f^' (c) = - (1)/(2)

{[[f^' ( x ) = - x , s e x <= 1],[f^' ( x ) = - (1)/(x^2) , s e x >= 1]])

Vamos ver a primeira equação acima (x <= 1) :

f^' (c) = - (1)/(2) = - c -> c = (1)/(2)

Como c = (1)/(2) está no intervalo x <= 1 é válido.

Vamos agora ver a outra equação ( x >= 1 ) :

f^' (c) = - (1)/(2) = - (1)/(c^2) -> c = +- sqrt(2)

Como - sqrt(2) não está no intervalo ( x >= 1 ) não é um valor válido.

Porém c = sqrt(2) é v á l i d o

Resposta

  1. Pontos x = sqrt(2) e x = (1)/(2)