Definir cuándo uma funcion f: R^2 → R es indepediente de la primera variable y hallar f'(a, b) para una f em estas condiciones. Que funcione son indepedientes la primera y tambien de la segunda variable?

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Fizemos uma exercício similar na questão anterior, se lembra, carinha?

Temos uma função que não depende da primeira variável, assim façamos:

f x i , y = g 0 , y

Ou seja, que g não depende da primeira variável, assim:

f x , y = g y

È intuitivo falarmos que:

f ' a , b = 0 , g ' b

Mas seria fácil demais se tudo fosse tão intuitivo assim, não é?

Vamos provar isso matematicamente.

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Assim, como o dito:

f x 1 , y = g y = f x 2 , y

Tomemos um pequeno intervalo a + h   e b + k , assim:

lim h , k → 0 ⁡ f a + h , b + k - f a , b - g ' b h h , k

Como g não depende da primeira variável a = x

lim h , k → 0 ⁡ g b + k - g b - g ' b h h , k

lim h , k → 0 ⁡ g b ) + g ( k - g b - g ' b h h , k

lim h , k → 0 ⁡ g ( k ) - g ' b h h , k

Passo 3

E concluímos que:

lim h , k → 0 ⁡ g ( k ) - g ' b h h , k = 0

Portanto:

f ' a . b = 0 , g ' b

Resposta

f ' a . b = 0 , g ' b