Demonstrar que | x | - | | y | ≤ | x - y |

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

E provaremos não de forma obvia, como:

x = 0 ; y = 0

Seria sem graça hum? Kkkk. Portanto:

x != 0 ; y != 0

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Então:

(|x| - |y|)^2 = |x| |x| - 2 |x| |y| + |y| | |y|

Sabemos que:

|x| >= x

E:

|x| |y| >= x y

Mas:

|x|^2 = x^2

De forma que:

(|x| - |y|)^2 >= x^2 - 2 x y + y^2

(|x| - |y|)^2 >= (x - y)^2

Tirando a raiz:

sqrt((|x| - |y|)^2) >= sqrt((x - y)^2)

Mas:

sqrt((x - y)^2) = | x - y |

Logo:

(|x| - |y|) >= | x - y |

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)