Demonstrar que lim s → 2 ⁡ x 2 = 4 .

Como escolher para um dado número positivo Ɛ , um outro número positivo δ qualquer, de forma que a desigualdade x - 2 < δ siga a desigualdade x 2 - 4 < Ɛ ?

Calcular δ , se:

  1. Ɛ = 0,1 ;
  2. Ɛ = 0,01 ;
  3. Ɛ = 0,001 .

Passo 1

Demonstrando que lim s → 2 ⁡ x 2 = 4 :

lim s → 2 ⁡ x 2 = 2 2 = 4

Passo 2

  1. Para Ɛ = 0,1 :
  2. x 2 - 4 < 0,1

    x 2 - 4 < 0,1 → x 2 < 0,1 + 4 → - 4,1 < x < 4,1                                                                                                 - x 2 - 4 < 0,1 → x 2 - 4 > - 0,1 → x 2 > 4 - 0,1 → x > 3,9   e   x < - 3,9

    Analisando os intervalos das soluções, achamos a interseção, que atende à inequação:

    Portanto, podemos escolher um valor para x dentro dos intervalos - 4,1   ,   - 3,9 e 3,9   ,   4,1 .

    Escolhendo x = 3,91 :

    x - 2 < δ → 3,91 - 2 < δ → 1,9773 - 2 < δ → - 0,0226 < δ → δ > 0,0226

    Passo 3

  3. Para Ɛ = 0,01 :
  4. x 2 - 4 < 0,01

    x 2 - 4 < 0,01 → x 2 < 0,01 + 4 → - 4,01 < x < 4,01                                                                                                                 - x 2 - 4 < 0,01 → x 2 - 4 > - 0,01 → x 2 > 4 - 0,01 → x > 3,99         e       x < - 3,99

    Portanto, podemos escolher um valor para x dentro dos intervalos - 4 , 0 1   ,   - 3 , 9 9 e 3 , 9 9   ,   4 , 0 1 .

    Escolhendo x = 3,9 9 1 :

    x - 2 < δ → 3,9 9 1 - 2 < δ → 1,9 9 7 7 - 2 < δ → - 0,0 0 22 < δ → δ > 0,0 022

    Passo 4

  5. Para Ɛ = 0,001 :

x 2 - 4 < 0,001

x 2 - 4 < 0,001 → x 2 < 0,001 + 4 → - 4,001 < x < 4,001                                                                                                                     - x 2 - 4 < 0,001 → x 2 - 4 > - 0,001 → x 2 > 4 - 0,001 → x > 3,999         e       x < - 3,999

Portanto, podemos escolher um valor para x dentro dos intervalos - 4,0 0 1   ,   - 3,9 9 9 e 3,9 9 9   ,   4,0 0 1 .

Escolhendo x = 3,9 9 91 :

x - 2 < δ → 3,9 9 91 - 2 < δ → 1,99 9 7 - 2 < δ → - 0,00 0 2 < δ → δ > 0,00 0 2

Resposta

  1. δ > 0,0226 .
  2. δ > 0,0 0 26 .
  3. δ > 0,0 002 .