Demonstrar que o limite da sucessão x_n = n / (n + 1) n = 1, 2, 3, … , quando n -> infinito , é igual a 1. Para que valores de n > N será válida a desigualdade: | x_n - 1 | < Ɛ ? ( Ɛ é um número positivo arbitrário)

Achar N , se:

  1. Ɛ = 0,1;
  2. Ɛ = 0,01;
  3. Ɛ = 0,001

Passo 1

Então vamos começar demonstrando que a sucessão lim n → ∞ ⁡ x n = 1 :

lim n → ∞ ⁡ n n + 1 = ∞ ∞ + 1 = ∞ ∞ = 1

Passo 2

Agora, vamos ver a partir de qual valor de n que teremos a sucessão menor que o Ɛ dado.

  1. Para Ɛ = 0,1 :
  2. n n + 1 < 0,1

    n < 0,1 n + 0,1

    n - 0,1 n < 0,1

    0,9 n < 0,1

    n < 0,1 0,9

    n < 0,1111

    Passo 3

  3. Para Ɛ = 0,01 :
  4. n n + 1 < 0,01

    n < 0,01 n + 0,01

    n - 0,01 n < 0,01

    n < 0,01 0,99

    n < 0,0101

    Passo 4

  5. Para Ɛ = 0,001 :

n n + 1 < 0,001

n < 0,001 n + 0,001

n - 0,001 n < 0,001

n < 0,001 0,999

n < 0,0010

Resposta

  1. Assim, como n ∈ N , apenas valores menores que 0,1111 satisfazem a desigualdade: 0.
  2. Assim, como n ∈ N , apenas valores menores que 0,0101 satisfazem a desigualdade: 0.
  3. Assim, como n ∈ N , apenas valores menores que 0,001 satisfazem a desigualdade: 0.

E aí? Ficou alguma dúvida?Mais fácil que andar pra frente, né?! xD