Demonstrar que quando n → ∞ o limite da sucessão 1, 1/4, 1/9, …, 1/n², … é igual a zero. Para que valores de n será válida a desigualdade: 1 / n^2 < E ? ( Ɛ é um número positivo arbitrário)

Fazer a calculo numérico, se:

  1. Ɛ = 0,1;
  2. Ɛ = 0,01;
  3. Ɛ = 0,001

Passo 1

Vamos lá!

Bora começar demonstrando que a sucessão dada tende para zero, de acordo que o termo n vai crescendo para o infinito. Então?

lim n → ∞ ⁡ 1 n 2 = 1 ∞ 2 = 1 ∞ = 0

Passo 2

Agora, vamos ver a partir de qual valor de n que teremos a sucessão menor que o Ɛ dado.

  1. Para Ɛ = 0,1 :
  2. 1 n 2 < 0,1    

    n 2 > 1 0,1  

      n > 10

      n > 3,1622

    Então:

    n ≥ 4

    Passo 3

  3. Para Ɛ = 0,01 :
  4. 1 n 2 < 0,01

    n 2 > 1 0,01

      n > 100

      n > 10

    Passo 4

  5. Para Ɛ = 0,001 :

1 n 2 < 0,001

n 2 > 1 0,001

  n > 1000  

  n > 31,622

Então:

n ≥ 32

Resposta

  1. Assim, como n ∈ N , satisfaz a desigualdade para valores de n maiores que 3,1622 : como 4 , 5 , 6 , ...
  2. Assim, como n ∈ N , satisfaz a desigualdade para valores de n maiores que 10 : como 11 , 12 , 13 , ...
  3. Assim, como n ∈ N , satisfaz a desigualdade para valores de n maiores que 31,622 : como 32 , 33 , 34 , ...