Demonstrar que se f(x) = k * x + b e os números x_1 , x₂ , x₃ formam uma progressão aritmética, então, os números f(x1) , f(x2) e f(x₃) , também formam uma progressão aritmética.

Passo 1

Vamos lá!

Lembrando que, para termos uma progressão aritmética:

f n + 1 - f n = c o n s t a n t e

Então, vamos definir as funções de cada termo. Sendo x 2 = x 1 + 1 , x 3 = x 2 + 1 = x 1 + 2 .

f x 1 = k x 1 + b

f x 2 = k x 2 + b = k x 1 + 1 + b

f x 3 = k x 3 + b = k x 1 + 2 + b

Aplicando a definição:

f ( x 2 ) - f ( x 1 ) = k x 1 + 1 + b - k x 1 + b

f ( x 2 ) - f ( x 1 ) = k x 1 + k + b - k x 1 - b

f ( x 2 ) - f ( x 1 ) = k

Sendo k uma constante, temos então uma progressão aritmética!

Vamos verificar para f ( x 3 ) :

f x 3 - f x 2 = k x 1 + 2 + b - k x 1 + 1 + b

f x 3 - f x 2 = k x 1 + 2 k + b - k x 1 - k - b

f x 3 - f x 2 = k

Encontramos o mesmo valor constante k . Logo, também é uma progressão aritmética!

Resposta

Assim comprovamos que se x 1 , x 2 e x 3 formam uma progressão aritmética, f ( x 1 ) , f ( x 2 ) e f ( x 3 ) também formam uma progressão aritmética.

Compreendeu o raciocínio?

Qualquer dúvida, manda pra gente!