Demonstrar que qualquer função f(x) , determinada no intervalo -l < x < l , pode ser apresentada como a soma de funções par e ímpar.

Passo 1

Adotando g ( x ) como a função par, e h ( x ) a função ímpar, sabemos que:

g x = g - x             p a r        

h x = - h x           í m p a r

Então, teremos o seguinte sistema:

f x = g x + h x                                                                               f - x = g - x + h - x = g x - h ( x )

Se somarmos as duas igualdades:

f x + f - x = g x + h x + g x - h x

f x + f - x = 2 g x

g x = f x + f ( - x ) 2

Subtraindo as duas igualdades:

f x - f - x = g x + h x - g x + h x

f x - f - x = 2 h x

h x = f x - f ( - x ) 2

Passo 2

Vamos supor uma função f x = x , com x = l - 1 . Então f l - 1 = l - 1 .

Então:

f l - 1 = g l - 1 + h l - 1

f l - 1 = f l - 1 + f - l - 1 2 + f l - 1 - f - l - 1 2

f l - 1 = l - 1 + - l + 1 2 + l - 1 - - l + 1 2

f l - 1 = l - 1 - l + 1 2 + l - 1 + l - 1 2

f l - 1 = 0 2 + 2 l - 2 2 = l - 1

Resposta

Assim, comprovamos que uma função pode ser escrita como uma soma de uma função par com uma função ímpar.

Compreendeu?Qualquer dúvida é só chamar a gente!