Demonstrar que se a e b são números reais, então

||a| - |b|| <= |a - b| <= |a| + | b |

Passo 1

Fala galera! Vamos estudar um pouco as propriedades de módulo?

Como sabemos, o módulo de um termo está relacionado com seu valor absoluto, portanto, positivo.

|G| = G

|- G| = G

Passo 2

Então, vamos relacionar alguns possíveis valores para os termos, para facilitar o entendimento.

Vamos adotar apenas valores positivos: a = 5 e b = 8

Logo:

||a| - |b|| <= |a - b| <= |a| + | b |

||5| - |8|| <= |5 - 8| <= |5| + |8|

|(5) - (8)| <= |- 3| <= 5 + 8

|- 3| <= 3 <= 13

3 <= 3 <= 13

A condição é verdadeira para valores positivos!

Passo 3

Agora, vamos adotar valor positivo para a e negativo para b : a = 5 e b - 8

Então:

||a| - |b|| <= |a - b| <= |a| + | b |

||5| - |- 8|| <= |(5) - (- 8)| <= |5| + |- 8|

|5 - 8| <= |5 + 8| <= 5 + 8

|- 3| <= |13| <= 13

3 <= 13 <= 13

Agora, com: a = - 5 e b = 8

||- 5| - |8|| <= |- 5 - 8| <= |- 5| + | 8 |

|5 - 8| <= |- 13| <= 5 + 8

|- 3| <= 13 <= 13

3 <= 13 <= 13

Logo, a condição é verdadeira também para valores alternados positivo/negativo para a e b !

Passo 4

Agora, adotemos apenas valores negativos: a = - 5 e b = - 8

Teremos:

||a| - |b|| <= |a - b| <= |a| + | b |

||- 5| - |- 8|| <= |( - 5 ) - ( - 8 )| <= |- 5| + | - 8 |

|5 - 8| <= |- 5 + 8| <= 5 + 8

|- 3| <= |3| <= 3

3 <= 3 <= 3

Assim, a condição também é verdadeira para valores negativos de a e b .

Resposta

Comprovamos que ||a| - |b|| <= |a - b| <= |a| + |b| é verdadeira, pois:

Para a = 5 e b = 8 -> 3 <= 3 <= 13 ;

Para a = 5 e b = - 8 -> 3 <= 13 <= 1 3 ;

Para a = - 5 e b = 8 -> 3 <= 13 <= 13 ;

Para a = - 5 e b = - 8 -> 3 <= 3 <= 3 .

Ficou claro? Qualquer dúvida pode mandar pra gente!