Enunciado

Demonstrar as seguintes igualdades:

  1. |a b| = |a| * |b| ;
  2. |a|^2 = a^2 ;
  3. |(a)/(b)| = (|a|)/(|b|) , (b != 0) ;
  4. sqrt(a^2) = |a| .

Passo 1

  1. |a b| = |a| * |b|
  2. Bom, galera. Vamos relembrar um pouco sobre módulo em equações!

    Nessa igualdade, vamos começar analisando o primeiro caso:

  • 1º caso: se a >= 0 e b >= 0
  • Seus módulos são valores positivos, logo, o produto de termos positivos resulta em um termo positivo também.

    |a| = a e |b| = b -> a * b >= 0 -> |a * b| = x * b

    |a| * |b| = a * b = |a * b|

    Logo:

    |a| * |b| = |a * b|

  • 2º caso: se a >= 0 e b < 0 (ou o contrário, a < 0 e b >= 0 )
  • O produto de termos de sinal trocado resultado em um termo de sinal negativo. Porém, ao aplicar o módulo nesse termo negativo, resulta no termo com sinal positivo.

    |a| = a e |b| = - b -> a * b < 0

    |a * b| = a * (- b) = |a * (- b)| -> |a * b| = |a| * |- b|

    Logo:

    |a * b| = |a| * |b|

  • 3º caso: se a < 0 e b < 0
  • O produto de termos de sinal igual resulta em um termo de sinal positivo.

    |a| = - a e |b| = - b -> a * b > 0

    |a| * |b| = (- a) * (- b) = |- a| * |- b|

    Logo:

    |a * b| = |a| * |b|

    Passo 2

  • |a|^2 = a^2
  • Aqui teremos dois casos para analisar:

  • Se a >= 0 :
  • |a| = a -> |a|^2 = a^2

  • Se a < 0 :
  • |a| = - a -> |a|^2 = (- a)^2 = a^2

    Portanto:

    |a|^2 = a^2

    Passo 3

  • |(a)/(b)| = (|a|)/(|b|) , (b != 0)
  • Nesse caso, fazemos:

    |(a)/(b)| = |a * (1)/(b)|

    Pela propriedade do produto, visto na letra a), sabemos que:

    |a| * |b| = |a * b|

    Então:

    |(a)/(b)| = |a| * |(1)/(b)| = |a| * (1)/(|b|) = (|a|)/(|b|)

    Passo 4

  • sqrt(a^2) = |a|
  • Novamente, iremos analisar os dois casos da igualdade:

  • Se a >= 0
  • |a| = a -> sqrt(a^2) = a

  • Se a < 0

|a| = - a -> sqrt((- a)^2) = - a

Então:

sqrt(a^2) = |a|

Resposta

E aí, ficou claro o raciocínio?Qualquer dúvida, manda pra gente!